Краевые задачи и интегральные уравнения для физиков. Калошин А.Е. - 4 стр.

Пример

                           y 00 + y = 1,   y(0) = y(l) = 0
Общее решение ДУ:
                             y = C1 sin x + C2 cos x + 1
Левое граничное условие приводит к C1 = −1. После этого правое граничное условие
выглядит так:
                           y(l) = C1 sin l + 1 − cos l = 0
Здесь возможны разные варианты.
  • sin l 6= 0 , т.е. l 6= nπ, n = 1,2...
    В этом случае константа C1 определяется однозначно: C1 = (cos l − 1)/sin l
  • sin l = 0 , причем n = 2k. Тогда cos l = 1 и правое граничное условие выполнено
    при любом значении C1 .
  • sin l = 0 и n = 2k + 1. При этом cos l = −1 и правое граничное условие не может
    быть выполнено ни при каком C1 – краевая задача решения не имеет.
Таким образом, в зависимости от параметра l рассматриваемая краевая задача либо
имеет единственное решение, либо имеет бесчисленное множество решений, либо вовсе
не имеет решения.
   Нетрудно понять, что наличие различных возможностей связано с разрешимостью
или неразрешимостью однородной краевой задачи. А именно:
   Если однородная задача (ОКЗ) не имеет нетривиального решения, то неоднородная
краевая задача (НКЗ) имеет единственное решение при любой функции f (x). Если же
однородная задача разрешима, то неоднородная краевая задача либо не имеет решения,
либо имеет множество решений в зависимости от вида правой части f (x).

2.2   Определение функции Грина.
В случае, если ОКЗ не имеет решения, решение НКЗ можно построить с помощью функ-
ции Грина (другое название – фундаментальное решение). Вначале мы дадим формаль-
ные определения, а затем поясним как возникают эти конструкции. Функцией Грина
краевой задачи (4) называется функция G(x, s) (a ≤ x ≤ b, a < s < b), зависящая от
дополнительного параметра s, и обладающая следующими свойствами:


  1. Функция G(x, s) непрерывна по x при фиксированном s.
  2. Она удовлетворяет граничным условиям

                                  G(a, s) = G(b, s) = 0.

  3. Она удовлетворяет однородному ДУ всюду, кроме одной точки:

                               L̂x G(x, s) = 0   при x 6= s.



                                           2