Краевые задачи и интегральные уравнения для физиков. Калошин А.Е. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

Это почти функция Грина , см. определение (4). Осталось лишь потребовать непре-
рывности по переменной x и условия на скачок производной. Это дает систему уравне-
ний на коэффициенты c
i
:
(
c
1
y
1
(s) = c
2
y
2
(s)
c
2
y
0
2
(s) − c
1
y
0
1
(s) = 1/p(s).
(7)
Определитель этой системы есть не что иное, как определитель Вронского.
W (s) =
¯
¯
¯
¯
y
1
(s) y
2
(s)
y
0
1
(s) y
0
2
(s)
¯
¯
¯
¯
6= 0.
Система легко решается:
c
1
=
y
2
(s)
W (s)p(s)
, c
2
=
y
1
(s)
W (s)p(s)
. (8)
Вот теперь мы имеем в настоящую функцию Грина, которая удовлетворяет всем четы-
рем условиям (4).
G(x, s) =
(
y
2
(s)y
1
(x)/W (s)p(s), a ≤ x < s
y
1
(s)y
2
(x)/W (s)p(s), s < x ≤ b
(9)
Функция Грина оказалась симметричной функцией двух аргументов — это есть след-
ствие того, что уравнение было написано в самосопряженном виде.
Если однородная краевая задача не имеет нетривиального решения, то функция Гри-
на единственна. Действительно, предположим, что у нас есть две различные функции
Грина G
1
и G
2
. Тогда мы имеем два решения краевой задачи:
y
1
(x) =
Z
b
a
G
1
(x, s)f(s)ds, y
2
(x) =
Z
b
a
G
2
(x, s)f(s)ds.
Но тогда их разность
y
1
(x) − y
2
(x) =
Z
b
a
[G
1
(x, s) − G
2
(x, s)] f(s)ds
удовлетворяет однородной краевой задаче, что противоречит исходному предположе-
нию.
После прочтения последних страниц у всякого человека должно было возникнуть
чувство неудовлетворенности: формальное решение построено, но какой-либо логики в
построениях не видно. Тем не менее, понятие функции Грина и конструкция решения
в виде (5) очень логичны и естественны. Чтобы убедиться в этом, надо рассмотреть
краевую задачу вида:
(p(x)y
0
)
0
+ q(x)y = δ
²
(x, s), y(a) = 0, y(b) = 0.
где δ
²
(x, s) – ступенчатая функция вида:
δ
²
(x, s) =
(
1/2², | x − s |< ²
0, | x − s |< ²,
(10)
4
   Это почти функция Грина , см. определение (4). Осталось лишь потребовать непре-
рывности по переменной x и условия на скачок производной. Это дает систему уравне-
ний на коэффициенты ci :
                         (
                           c1 y1 (s) = c2 y2 (s)
                                                                               (7)
                           c2 y20 (s) − c1 y10 (s) = 1/p(s).

Определитель этой системы есть не что иное, как определитель Вронского.
                                   ¯                ¯
                                   ¯ y1 (s) y2 (s) ¯
                                   ¯
                           W (s) = ¯ 0              ¯=6 0.
                                     y1 (s) y20 (s) ¯
Система легко решается:
                                     y2 (s)                           y1 (s)
                             c1 =             ,               c2 =             .          (8)
                                    W (s)p(s)                        W (s)p(s)
Вот теперь мы имеем в настоящую функцию Грина, которая удовлетворяет всем четы-
рем условиям (4).
                            (
                              y2 (s)y1 (x)/W (s)p(s), a ≤ x < s
                  G(x, s) =                                                  (9)
                              y1 (s)y2 (x)/W (s)p(s), s < x ≤ b

Функция Грина оказалась симметричной функцией двух аргументов — это есть след-
ствие того, что уравнение было написано в самосопряженном виде.
   Если однородная краевая задача не имеет нетривиального решения, то функция Гри-
на единственна. Действительно, предположим, что у нас есть две различные функции
Грина G1 и G2 . Тогда мы имеем два решения краевой задачи:
                       Z b                             Z b
              y1 (x) =     G1 (x, s)f (s)ds,  y2 (x) =     G2 (x, s)f (s)ds.
                         a                                                    a

Но тогда их разность
                                           Z       b
                       y1 (x) − y2 (x) =               [G1 (x, s) − G2 (x, s)] f (s)ds
                                               a

удовлетворяет однородной краевой задаче, что противоречит исходному предположе-
нию.
   После прочтения последних страниц у всякого человека должно было возникнуть
чувство неудовлетворенности: формальное решение построено, но какой-либо логики в
построениях не видно. Тем не менее, понятие функции Грина и конструкция решения
в виде (5) очень логичны и естественны. Чтобы убедиться в этом, надо рассмотреть
краевую задачу вида:
                     (p(x)y 0 )0 + q(x)y = δ² (x, s),            y(a) = 0, y(b) = 0.
где δ² (x, s) – ступенчатая функция вида:
                                        (
                                          1/2²,               | x − s |< ²
                            δ² (x, s) =                                                  (10)
                                          0,                  | x − s |< ²,

                                                          4

Страницы