Краевые задачи и интегральные уравнения для физиков. Калошин А.Е. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

Z
s+²
s−²
δ
²
(x, s) = 1.
Обозначим через G
²
(x, s) непрерывное решение этой краевой задачи. Предположим,
что существует предел
lim
²→0
G
²
(x, s) = G(x, s).
Теперь приблизим функцию f(x) ступенчатой функцией. Для этого разобьем отрезок
[a, b] на n частей и напишем так:
f(x) ≈
n
X
i=1
δ
²
(x, s
i
)f(s
i
)∆S
i
, ∆S
i
=
b − a
n
= 2².
По принципу суперпозиции решение с такой правой частью строится как сумма реше-
ний, отвечающих каждому отдельному слагаемому:
¯y(x) =
n
X
i=1
G
²
(x, s)f(s
i
)∆S
i
.
Предел этой интегральной суммы при n → ∞ есть определенный интеграл
y(x) =
Z
b
a
G(x, s)f(s)ds,
который является решением рассматриваемой краевой задачи (4).
2.4 δ–функция Дирака и ее свойства.
Оказывается, что удобно ввести в рассмотрение не совсем обычную функцию, отно-
сящуюся к классу так называемых обобщенных функций. Определение (нестрогое, но
достаточное для наших целей) такое:
δ(x) = 0, x 6= 0, δ(0) = ∞,
Z
∞
−∞
δ(x)dx = 1. (11)
Основные свойства с минимальными комментариями:
1.
Z
∞
−∞
δ(x − a)f(x)dx = f(a). (12)
Здесь f(x) – непрерывная на всей оси функция. Это и есть фактически определение
δ–функции.
2. Выше была рассмотрена ступенчатая функция, пределом которой при ² → 0 явля-
ется δ–функция. Но δ–функцию можно представить и как предел обычных непре-
рывных функций, причем многими способами. Приведем одно из таких представ-
лений — наиболее простое.
δ(x) = lim
²→0
1
π
·
²
x
2
+ ²
2
.
5
                                            Z    s+²
                                                       δ² (x, s) = 1.
                                                s−²

   Обозначим через G² (x, s) непрерывное решение этой краевой задачи. Предположим,
что существует предел
                                 lim G² (x, s) = G(x, s).
                                        ²→0

    Теперь приблизим функцию f (x) ступенчатой функцией. Для этого разобьем отрезок
[a, b] на n частей и напишем так:
                              n
                              X                                                b−a
                    f (x) ≈         δ² (x, si )f (si )∆Si ,         ∆Si =          = 2².
                              i=1
                                                                                n

По принципу суперпозиции решение с такой правой частью строится как сумма реше-
ний, отвечающих каждому отдельному слагаемому:
                                                 n
                                                 X
                                    ȳ(x) =            G² (x, s)f (si )∆Si .
                                                 i=1

Предел этой интегральной суммы при n → ∞ есть определенный интеграл
                                    Z b
                             y(x) =     G(x, s)f (s)ds,
                                                      a

который является решением рассматриваемой краевой задачи (4).

2.4    δ–функция Дирака и ее свойства.
Оказывается, что удобно ввести в рассмотрение не совсем обычную функцию, отно-
сящуюся к классу так называемых обобщенных функций. Определение (нестрогое, но
достаточное для наших целей) такое:
                                                 Z ∞
                 δ(x) = 0,  x 6= 0,  δ(0) = ∞,        δ(x)dx = 1.         (11)
                                                                         −∞

  Основные свойства с минимальными комментариями:
  1.                                    Z   ∞
                                                 δ(x − a)f (x)dx = f (a).                  (12)
                                            −∞

       Здесь f (x) – непрерывная на всей оси функция. Это и есть фактически определение
       δ–функции.
  2. Выше была рассмотрена ступенчатая функция, пределом которой при ² → 0 явля-
     ется δ–функция. Но δ–функцию можно представить и как предел обычных непре-
     рывных функций, причем многими способами. Приведем одно из таких представ-
     лений — наиболее простое.
                                                                1     ²
                                            δ(x) = lim            · 2    .
                                                          ²→0   π x + ²2

                                                           5

Страницы