Краевые задачи и интегральные уравнения для физиков. Калошин А.Е. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

3. δ(−x) = δ(x) .
4. δ(ax) = a
−1
δ(x).
5. Обозначим через Θ(x) ступенчатую функцию Хевисайда:
Θ(x) =
(
1, x > 0
0, x < 0.
(13)
Тогда
d
dx
Θ(x) = δ(x).
Доказывается так:
Z
∞
−∞
Θ
0
(x)ϕ(x)dx = −
Z
∞
−∞
Θ(x)ϕ
0
(x)dx = −
Z
∞
0
ϕ
0
(x)dx = ϕ(0),
если, как предполагается, пробная функция ϕ(x) достаточно быстро падает на беско-
нечности.
Теперь вернемся к функции Грина и дадим более точное ее определение, используя
δ–функцию. Итак, функцией Грина краевой задачи (4) называется функция G(x, s) двух
аргументов (a ≤ x ≤ b, a < s < b), обладающая следующими свойствами:
1. Функция G(x, s) непрерывна по x при фиксированном s.
2. Она удовлетворяет граничным условиям
G(a, s) = G(b, s) = 0.
3. Она удовлетворяет неоднородному ДУ вида:
ˆ
L
x
G(x, s) = δ(x − s).
Теперь проверка того, что конструкция (5) является решением ДУ становится почти
тривиальной.
ˆ
Ly(x) =
Z
b
a
ˆ
L
x
G(x, s)f(s)ds =
Z
b
a
δ(x − s)f(s) ds = f(x).
3 Уравнения Фредгольма 2 рода
Ниже мы будем рассматривать лишь линейные интегральные уравнения, а именно, урав-
нение Фредгольма 2 рода:
ϕ(t) = λ
Z
b
a
K(t, s)ϕ(s)ds + f(t)
6
    3. δ(−x) = δ(x) .
    4. δ(ax) = a−1 δ(x).
    5. Обозначим через Θ(x) ступенчатую функцию Хевисайда:
                                         (
                                           1, x > 0
                                  Θ(x) =                                                        (13)
                                           0, x < 0.

      Тогда
                                            d
                                              Θ(x) = δ(x).
                                           dx
      Доказывается так:
              Z ∞                  Z       ∞                     Z       ∞
                     0                              0
                   Θ (x)ϕ(x)dx = −             Θ(x)ϕ (x)dx = −               ϕ0 (x)dx = ϕ(0),
                   −∞                  −∞                            0


если, как предполагается, пробная функция ϕ(x) достаточно быстро падает на беско-
нечности.
   Теперь вернемся к функции Грина и дадим более точное ее определение, используя
δ–функцию. Итак, функцией Грина краевой задачи (4) называется функция G(x, s) двух
аргументов (a ≤ x ≤ b, a < s < b), обладающая следующими свойствами:
    1. Функция G(x, s) непрерывна по x при фиксированном s.
    2. Она удовлетворяет граничным условиям

                                   G(a, s) = G(b, s) = 0.

    3. Она удовлетворяет неоднородному ДУ вида:

                                   L̂x G(x, s) = δ(x − s).


   Теперь проверка того, что конструкция (5) является решением ДУ становится почти
тривиальной.
                        Z b                      Z b
               L̂y(x) =     L̂x G(x, s)f (s)ds =     δ(x − s)f (s)ds = f (x).
                           a                        a




3     Уравнения Фредгольма 2 рода
Ниже мы будем рассматривать лишь линейные интегральные уравнения, а именно, урав-
нение Фредгольма 2 рода:
                                  Z b
                         ϕ(t) = λ     K(t, s)ϕ(s)ds + f (t)
                                       a




                                                6

Страницы