Краевые задачи и интегральные уравнения для физиков. Калошин А.Е. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

и уравнение Вольтерра 2 рода:
ϕ(t) = λ
Z
t
a
K(t, s)ϕ(s)ds + f(t).
Итак, рассмотрим ИУ Фредгольма 2 рода:
ϕ(t) = λ
Z
b
a
K(t, s)ϕ(s)ds + f(t). (14)
Если f(t) = 0 , то уравнение называется однородным. Уравнением, сопряженным к
данному (14), называется:
ϕ(t) = λ
Z
b
a
K(s, t)ϕ(s)ds + f(t) (15)
В операторной записи уравнение (14) есть:
ϕ =
ˆ
Aϕ = λ
ˆ
Kϕ + f, (16)
где
ˆ
A,
ˆ
K – линейные операторы, определяемые (14).
Какие задачи приводят к такого рода ИУ ? Рассмотрим в частности краевую задачу
для линейного дифференциального уравнения 2 порядка.
ˆ
L y + λρ(x)y(x) = f(x), y(a) = y(b) = 0
ˆ
L y = (p(x)y
0
)
0
+ q(x)y (17)
ДУ (17) можно переписать так:
ˆ
L y = f(x) − λρ(x)y(x) ≡ ν(x). Тогда, если мы знаем
функцию Грина G(x,s) для оператора
ˆ
L, мы легко можем построить решение уравнения
ˆ
Ly = ν(x) :
y(x) =
Z
b
a
G(x, s)ν(s)ds =
Z
b
a
G(x, s)f(s)ds − λ
Z
b
a
G(x, s)ρ(s)y(s)ds =
= −λ
Z
b
a
K(x, s)y(s)ds + h(s) (18)
Здесь мы ввели очевидные обозначения для ядра и свободного члена. Таким образом,
решение краевой задачи (17) удовлетворяет интегральному уравнению (18) и наоборот.
Требования к ядру и свободному члену могут быть разными, но наиболее общими
требованиями, при которых справедливы теоремы Фредгольма, являются условия квад-
ратичной интегрируемости ядра и свободного члена:
Z
b
a
Z
b
a
| K(t, s) |
2
dsdt < ∞
Z
b
a
| f(t) |
2
dt < ∞
Мы сузим класс функций по сравнению с этим и будем считать, что свободный член
непрерывен при t ∈ [a, b] и ядро K(t, s) непрерывно в прямоугольнике Q :
{a ≤ t ≤ b, a ≤ s ≤ b}. Требование непрерывности приводит к более простым
доказательствам основных теорем.
Из линейности задачи сразу следуют два простых факта:
7
и уравнение Вольтерра 2 рода:
                                       Z       t
                            ϕ(t) = λ               K(t, s)ϕ(s)ds + f (t).
                                           a

Итак, рассмотрим ИУ Фредгольма 2 рода:
                                 Z b
                        ϕ(t) = λ     K(t, s)ϕ(s)ds + f (t).                           (14)
                                       a

Если f (t) = 0 , то уравнение называется однородным. Уравнением, сопряженным к
данному (14), называется:
                                     Z b
                            ϕ(t) = λ     K(s, t)ϕ(s)ds + f (t)             (15)
                                           a

В операторной записи уравнение (14) есть:
                                   ϕ = Âϕ = λK̂ϕ + f,                                (16)
где Â, K̂ – линейные операторы, определяемые (14).
   Какие задачи приводят к такого рода ИУ ? Рассмотрим в частности краевую задачу
для линейного дифференциального уравнения 2 порядка.
                      L̂ y + λρ(x)y(x) = f (x),                y(a) = y(b) = 0
                                 L̂ y = (p(x)y 0 )0 + q(x)y                           (17)
ДУ (17) можно переписать так: L̂ y = f (x) − λρ(x)y(x) ≡ ν(x). Тогда, если мы знаем
функцию Грина G(x,s) для оператора L̂, мы легко можем построить решение уравнения
L̂y = ν(x) :
                   Z b                 Z b                    Z b
            y(x) =     G(x, s)ν(s)ds =     G(x, s)f (s)ds − λ     G(x, s)ρ(s)y(s)ds =
                    a                   a                      a
                  Z b
            = −λ      K(x, s)y(s)ds + h(s)                                            (18)
                  a

Здесь мы ввели очевидные обозначения для ядра и свободного члена. Таким образом,
решение краевой задачи (17) удовлетворяет интегральному уравнению (18) и наоборот.
   Требования к ядру и свободному члену могут быть разными, но наиболее общими
требованиями, при которых справедливы теоремы Фредгольма, являются условия квад-
ратичной интегрируемости ядра и свободного члена:
                               Z bZ b
                                        | K(t, s) |2 dsdt < ∞
                                a    a
                               Z b
                                   | f (t) |2 dt < ∞
                                  a

Мы сузим класс функций по сравнению с этим и будем считать, что свободный член
непрерывен при t ∈ [a, b] и ядро K(t, s) непрерывно в прямоугольнике Q :
{a ≤ t ≤ b, a ≤ s ≤ b}. Требование непрерывности приводит к более простым
доказательствам основных теорем.
   Из линейности задачи сразу следуют два простых факта:

                                                      7

Страницы