Краевые задачи и интегральные уравнения для физиков. Калошин А.Е. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

• Если однородное интегральное уравнение не имеет решения кроме тривиального
(ϕ = 0), то решение неоднородного интегрального уравнения единственно.
• Если y(x) – решение неоднородного, а y
1
(x) – решение однородного, то
y(x) + C y
1
(x) тоже является решением неоднородного уравнения.
3.1 Уравнения Фредгольма с вырожденным ядром
Вырожденным называется ядро вида:
K(t, s) =
n
X
i=1
a
i
(t) b
i
(s) ,
где a
i
(t), b
i
(t) – два набора линейно–независимых функций. Подставив вырожденное
ядро в уравнение Фредгольма и проинтегрировав по
s
, мы получим соотношение вида:
ϕ(t) = λ
n
X
i=1
a
i
(t) c
i
+ f(t) , где c
i
=
Z
b
a
b
i
(s)ϕ(s)ds . (19)
Таким образом, если уравнение имеет решение, то его зависимость от t обязана быть
такой, как в (19). Поэтому осталось найти неизвестные коэффициенты c
i
и подставить
их в (19). Это соотношение можно превратить в систему уравнений для коэффициентов
c
i
. Для этого умножим (19) на b
j
(t) и проинтегрируем по t. В результате мы получим
систему из n алгебраических уравнений для n неизвестных.
c
j
= λ
n
X
i=1
K
ji
c
i
+ f
j
, (20)
где введены обозначения
K
ji
=
Z
b
a
b
j
(t)a
i
(t)dt, f
j
=
Z
b
a
f(t)b
j
(t)dt . (21)
В матричном виде (20) можно записать так:
~c = λ K ~c +
~
f или (E − λK) ~c =
~
f (22)
Определитель этой системы D(λ) = det(E − λK) является многочленом порядка n от-
носительно λ и называется определителем Фредгольма для вырожденного уравнения.
Определитель Фредгольма имеет n нулей λ
k
с учетом их кратности, часть из них может
быть комплексными. Заметим, что D(0) = 1.
Теперь проделаем то же самое с сопряженным уравнением
ϕ(t) = λ
Z
b
a
Ã
X
i
b
i
(t)a
i
(s)
!
ϕ(s)ds + g(t)
ϕ(t) = λ
X
i
b
i
(t)e
i
+ g(t), где e
i
=
Z
b
a
a
i
(s)ϕ(s)ds
8
  • Если однородное интегральное уравнение не имеет решения кроме тривиального
    (ϕ = 0), то решение неоднородного интегрального уравнения единственно.
  • Если y(x) – решение неоднородного, а y1 (x) – решение однородного, то
    y(x) + C y1 (x) тоже является решением неоднородного уравнения.

3.1   Уравнения Фредгольма с вырожденным ядром
Вырожденным называется ядро вида:
                                                        n
                                                        X
                                          K(t, s) =               ai (t) bi (s) ,
                                                           i=1

где ai (t), bi (t) – два набора линейно–независимых функций. Подставив вырожденное
ядро в уравнение Фредгольма и проинтегрировав по s, мы получим соотношение вида:
                            n
                            X                               Z b
                   ϕ(t) = λ    ai (t) ci + f (t) , где ci =     bi (s)ϕ(s)ds . (19)
                       i=1                                                                   a


Таким образом, если уравнение имеет решение, то его зависимость от t обязана быть
такой, как в (19). Поэтому осталось найти неизвестные коэффициенты ci и подставить
их в (19). Это соотношение можно превратить в систему уравнений для коэффициентов
ci . Для этого умножим (19) на bj (t) и проинтегрируем по t. В результате мы получим
систему из n алгебраических уравнений для n неизвестных.
                                                        n
                                                        X
                                               cj = λ         Kji ci + fj ,                                         (20)
                                                        i=1

где введены обозначения
                             Z       b                                     Z       b
                   Kji =                 bj (t)ai (t)dt,            fj =               f (t)bj (t)dt .              (21)
                                 a                                             a

В матричном виде (20) можно записать так:

                           ~c = λ K ~c + f~ или                      (E − λK) ~c = f~                               (22)

Определитель этой системы D(λ) = det(E − λK) является многочленом порядка n от-
носительно λ и называется определителем Фредгольма для вырожденного уравнения.
Определитель Фредгольма имеет n нулей λk с учетом их кратности, часть из них может
быть комплексными. Заметим, что D(0) = 1.
   Теперь проделаем то же самое с сопряженным уравнением
                             Z bà X                !
                    ϕ(t) = λ          bi (t)ai (s)   ϕ(s)ds + g(t)
                                           a       i

                           X                                                             Z       b
                ϕ(t) = λ             bi (t)ei + g(t),              где     ei =                      ai (s)ϕ(s)ds
                            i                                                                a




                                                              8

Страницы