Краевые задачи и интегральные уравнения для физиков. Калошин А.Е. - 12 стр.

уравнение ϕ = λK̂ϕ имело бы только тривиальное решение ϕ(t) = 0.
2 теорема Фредгольма
Если параметр λ в уравнении равен характеристическому числу ядра K(t,s), то одно-
родное уравнение ϕ = λK̂ϕ и сопряженное к нему ϕ = λK̂ T ϕ имеют одно и то же
конечное число линейно–независимых решений.
3 теорема Фредгольма
Неоднородное интегральное уравнение ϕ = λK̂ϕ + f при λ, равным характеристическо-
му числу будет разрешимо тогда и только тогда, если f(t) ортогонален всем решениям
сопряженног интегрального уравнения ψ = λK̂ T ψ.


      Несколько замечаний относительно теорем:
  1. Очевидно, что характеристические числа вырожденного ядра лежат в некотором
     кольце λ0 ≤ | λ | ≤ λ1 , причем λ0 > 0, λ1 < ∞. Это следует из того, что
     характеристические числа определяются алгебраическим уравнением и тем, что
     D(λ = 0) = 1. Важно, что существует некоторая окрестность точки λ = 0, сво-
     бодная от характеристических чисел: именно поэтому при малых λ работает метод
     последовательных приближений – см. ниже.
  2. Как следует из теорем, возникает необходимость решения однородного интеграль-
     ного уравнения или, что то же самое, исследования задачи на собственные значения
     для оператора.
  3. Теоремы Фредгольма намеренно сформулированы так, что они будут справедливы
     не только для вырожденных ядер, но и для ядер общего вида. Добавится еще
     четвертая теорема, касающаяся характеристических чисел.
      Введем важное понятие резольвенты для вырожденного ядра. При λ 6= λk
                                                                               Dij (λ)
                                 ~c = (E − λK)−1 f~,          (E − λK)−1
                                                                      ij =             ,
                                                                               D(λ)

где Dij (λ) – соответствующий минор матрицы. Тогда
                    n
                    X                                  X           X Dij (λ) Z b
        ϕ(t) = λ                ai (t)ci + f (t) = λ        ai (t)               f (s)bj (s)ds + f (t) =
                    i=1                                 i          j
                                                                     D(λ)     a
                    Z       b
              = λ               R(t, s; λ)f (s)ds + f (t),                                                 (25)
                        a

где
                                                        1 X
                                      R(t, s; λ) =             ai (t)Dij (λ)bj (s)
                                                       D(λ) ij

называется резольвентой или разрешающим ядром. Заметим, что характеристи-
ческие числа есть полюса резольвенты.
   Дальнейшая задача будет состоять в том, чтобы доказать теоремы Фредгольма для
ядер общего вида, а не только вырожденных.


                                                             10