Краевые задачи и интегральные уравнения для физиков. Калошин А.Е. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

• ИУ Фредгольма 2 рода однозначно разрешимо для любой f(t) при достаточно ма-
лых λ: | λ |< 1/M(b − a),
• Характеристические числа ядра лежат вне области | λ |< 1/M(b − a).
Теперь выпишем итерационную последовательность, причем удобнее это сделать в
операторном виде, записав уравнение Фредгольма как ϕ = λ
ˆ
Kϕ+f. В качестве функции
нулевого приближения выберем неоднородный член f(t) (это не обязательно, но удобно).
ϕ
0
= f(t),
ϕ
1
= λ
ˆ
Kϕ
0
+ f = λ
ˆ
Kf(t) + f = (I + λ
ˆ
K)f,
ϕ
2
= λ
ˆ
Kϕ
1
+ f = λ
ˆ
K(λ
ˆ
Kf(t) + f) + f = (I + λ
ˆ
K + λ
2
ˆ
K
2
)f
...
ϕ
n
= (I + λ
ˆ
K + λ
2
ˆ
K
2
+ ... + λ
n
ˆ
K
n
)f
...
Возникшая степень оператора
ˆ
K
n
– это тоже некоторый оператор, который можно ха-
рактеризовать своим ядром. Рассмотрим подробнее
ˆ
K
2
ˆ
K
2
ϕ =
ˆ
K
ˆ
Kϕ =
ˆ
K
Z
b
a
K(τ, s)ϕ(s)ds =
Z
b
a
K(t, τ)
µ
Z
b
a
K(τ, s)ϕ(s)ds
dτ
=
Z
b
a
·
Z
b
a
K(t, τ)K(τ, s)dτ
¸
ϕ(s)ds =
Z
b
a
K
2
(t, s)ϕ(s)ds, (26)
где мы обозначили через K
2
(t, s) ядро оператора
ˆ
K
2
и оно оказалось равным
K
2
(t, s) =
Z
b
a
K(t, τ)K(τ, s)dτ.
Если обозначить через K
n
ядро оператора
ˆ
K
n
, то легко понять, что между повторными
ядрами возникает рекуррентное соотношение
K
n
(t, s) =
Z
b
a
K(t, τ)K
n−1
(τ, s)dτ .
Тогда, стартуя с K
1
(t, s) ≡ K(t, s), можно последовательно построить все повторные
ядра. Решение через них:
ϕ(t) = f(t) +
∞
X
n=1
λ
n
Z
b
a
K
n
(t, s)f(s)ds = f (t) + λ
Z
b
a
R(t, s, λ)f(s)ds, (27)
где
R(t, s, λ) =
∞
X
n=1
λ
n−1
K
n
(t, s) (28)
называется резольвентой или разрешающим ядром (ср. с (25)).
Что такое резольвента на операторном языке? Решение ИУ выглядит так:
ϕ =
h
I + λ
ˆ
K + λ
2
ˆ
K
2
+ ...
i
f =
h
I + λ(
ˆ
K + λ
ˆ
K
2
+ ...)
i
f.
12
   • ИУ Фредгольма 2 рода однозначно разрешимо для любой f (t) при достаточно ма-
     лых λ: | λ |< 1/M (b − a),
   • Характеристические числа ядра лежат вне области | λ |< 1/M (b − a).
   Теперь выпишем итерационную последовательность, причем удобнее это сделать в
операторном виде, записав уравнение Фредгольма как ϕ = λK̂ϕ+f . В качестве функции
нулевого приближения выберем неоднородный член f (t) (это не обязательно, но удобно).

                ϕ0 = f (t),
                ϕ1 = λK̂ϕ0 + f = λK̂f (t) + f = (I + λK̂)f,
                ϕ2 = λK̂ϕ1 + f = λK̂(λK̂f (t) + f ) + f = (I + λK̂ + λ2 K̂ 2 )f
                ...
                ϕn = (I + λK̂ + λ2 K̂ 2 + ... + λn K̂ n )f
                ...

Возникшая степень оператора K̂ n – это тоже некоторый оператор, который можно ха-
рактеризовать своим ядром. Рассмотрим подробнее K̂ 2
                            Z b                  Z b          µZ b              ¶
        2
      K̂ ϕ = K̂ K̂ϕ = K̂         K(τ, s)ϕ(s)ds =     K(t, τ )      K(τ, s)ϕ(s)ds dτ
                              a                   a              a
                Z b ·Z b                  ¸          Z b
            =            K(t, τ )K(τ, s)dτ ϕ(s)ds =      K2 (t, s)ϕ(s)ds,           (26)
                  a    a                                       a

где мы обозначили через K2 (t, s) ядро оператора K̂ 2 и оно оказалось равным
                                        Z b
                            K2 (t, s) =     K(t, τ )K(τ, s)dτ.
                                             a

Если обозначить через Kn ядро оператора K̂ n , то легко понять, что между повторными
ядрами возникает рекуррентное соотношение
                                     Z b
                         Kn (t, s) =     K(t, τ )Kn−1 (τ, s)dτ .
                                         a

Тогда, стартуя с K1 (t, s) ≡ K(t, s), можно последовательно построить все повторные
ядра. Решение через них:
                         X∞    Z b                              Z b
                             n
          ϕ(t) = f (t) +    λ      Kn (t, s)f (s)ds = f (t) + λ     R(t, s, λ)f (s)ds, (27)
                           n=1    a                                     a

где
                                                 ∞
                                                 X
                                 R(t, s, λ) =          λn−1 Kn (t, s)                 (28)
                                                 n=1

называется резольвентой или разрешающим ядром (ср. с (25)).
   Что такое резольвента на операторном языке? Решение ИУ выглядит так:
                   h                   i   h                     i
                               2 2                        2
               ϕ = I + λK̂ + λ K̂ + ... f = I + λ(K̂ + λK̂ + ...) f.

                                                 12

Страницы