Краевые задачи и интегральные уравнения для физиков. Калошин А.Е. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

Тогда оператор резольвенты есть
ˆ
R =
ˆ
K + λ
ˆ
K
2
+ λ
2
ˆ
K
3
+ ... =
·
³
I − λ
ˆ
K
´
−1
− I
¸
1
λ
³
I − λ
ˆ
K
´
ϕ = f, ϕ =
³
I − λ
ˆ
K
´
−1
f = f + λ
ˆ
Rf.
3.3 Ядра, близкие к вырожденным
Пусть ядро имеет вид:
K(t, s) = K
B
(t, s) + K
ε
(t, s) =
n
X
i=1
a
i
(t)b
i
(s) + K
ε
(t, s), (29)
где K
B
(t, s) – вырожденное ядро, а ядро K
ε
ограничено в прямоугольнике Q:
max | K
ε
(t, s) | = ε. Уравнение
ϕ = λ(
ˆ
K
B
+
ˆ
K
ε
)ϕ + f (30)
можно переписать так:
ϕ − λ
ˆ
K
ε
= g, где g = f + λ
ˆ
K
B
ϕ (31)
Мы знаем, что в области | λ |< 1/ε(b − a) последовательные приближения для ядра
ˆ
K
ε
сходятся и существует резольвента R
ε
(t, s, λ). Вспоминая определение резольвенты
(27), напишем решение уравнения (31):
ϕ(t) = λ
Z
b
a
R
ε
(t, s, λ)g(s)ds + g(t) (32)
Если уравнение (30) имеет решение, то g(t) – известная функция. Осталось лишь под-
ставить в соотношение (32) явный вид g(t) и переписать в удобном виде.
ϕ(t) = λ
Z
b
a
R
ε
(t, s)g(s)ds + g(t) =
= f(t) + λ
Z
b
a
K
B
(t, τ)ϕ(τ )dτ + λ
Z
b
a
R
ε
(t, s, λ)
·
f(s) + λ
Z
b
a
K
B
(s, τ)ϕ(τ )dτ
¸
ds =
= f(t) + λ
Z
b
a
R
ε
(t, s, λ)f(s)ds + λ
Z
b
a
·
K
B
(t, τ) + λ
Z
b
a
R
ε
(t, s, λ)K
B
(s, τ)ds
¸
ϕ(τ)dτ
Тем самым, используя резольвенту оператора
ˆ
K
ε
, мы получили другое (эквивалентное)
уравнение для функции ϕ(t)
ϕ(t) =
˜
f(t) + λ
Z
b
a
˜
K(t, τ, λ)ϕ(τ)dτ,
где
˜
f(t, λ) = f(t) + λ
Z
b
a
R
ε
(t, s, λ)f(s)ds,
˜
K(t, τ, λ) = K
B
(t, τ) + λ
Z
b
a
R
ε
(t, s, λ)K
B
(s, τ)ds.
13
Тогда оператор резольвенты есть
                                                                        ·³               ´−1        ¸
                                                 2        2   3                                         1
                           R̂ = K̂ + λK̂ + λ K̂ + ... =                       I − λK̂          −I
                                                                                                        λ
                           ³               ´                       ³           ´−1
                                   I − λK̂ ϕ = f,             ϕ = I − λK̂            f = f + λR̂f.

3.3   Ядра, близкие к вырожденным
Пусть ядро имеет вид:
                                                                        n
                                                                        X
                       K(t, s) = KB (t, s) + Kε (t, s) =                      ai (t)bi (s) + Kε (t, s),                         (29)
                                                                        i=1

где KB (t, s) – вырожденное ядро, а ядро Kε ограничено в прямоугольнике Q:
max | Kε (t, s) | = ε. Уравнение

                                                     ϕ = λ(K̂B + K̂ε )ϕ + f                                                     (30)

можно переписать так:

                                        ϕ − λK̂ε = g,             где    g = f + λK̂B ϕ                                         (31)

    Мы знаем, что в области | λ |< 1/ε(b − a) последовательные приближения для ядра
K̂ε сходятся и существует резольвента Rε (t, s, λ). Вспоминая определение резольвенты
(27), напишем решение уравнения (31):
                                   Z b
                          ϕ(t) = λ     Rε (t, s, λ)g(s)ds + g(t)                  (32)
                                                          a

Если уравнение (30) имеет решение, то g(t) – известная функция. Осталось лишь под-
ставить в соотношение (32) явный вид g(t) и переписать в удобном виде.
               Z b
      ϕ(t) = λ     Rε (t, s)g(s)ds + g(t) =
                a
               Z b                        Z b             ·          Z b                   ¸
   = f (t) + λ     KB (t, τ )ϕ(τ )dτ + λ      Rε (t, s, λ) f (s) + λ     KB (s, τ )ϕ(τ )dτ ds =
                a                          a                          a
               Z b                         Z b·                Z b                         ¸
   = f (t) + λ     Rε (t, s, λ)f (s)ds + λ      KB (t, τ ) + λ     Rε (t, s, λ)KB (s, τ )ds ϕ(τ )dτ
                   a                                          a                      a

Тем самым, используя резольвенту оператора K̂ε , мы получили другое (эквивалентное)
уравнение для функции ϕ(t)
                                          Z b
                         ϕ(t) = f˜(t) + λ     K̃(t, τ, λ)ϕ(τ )dτ,
                                                                   a

где
                       Z       b                                                                Z       b
f˜(t, λ) = f (t) + λ               Rε (t, s, λ)f (s)ds,        K̃(t, τ, λ) = KB (t, τ ) + λ                 Rε (t, s, λ)KB (s, τ )ds.
                           a                                                                        a


                                                                  13

Страницы