Краевые задачи и интегральные уравнения для физиков. Калошин А.Е. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

2. У резольвенты, рассматриваемой как функция от λ, во всей λ-плоскости нет ника-
ких особенностей, кроме изолированных полюсов (мероморфная функция).
3. Полюса резольвенты есть характеристические числа.
4. При малых λ резольвента определяется формулой (28).
5. Резольвента сама является решением интегральных уравнений:
R(x, t; λ) = K(x, t) +
Z
b
a
K(x, τ)R(τ, t; λ)dτ
R(x, t; λ) = K(x, t) +
Z
b
a
K(τ, t)R(x, τ; λ)dτ
(34)
4 Уравнения Вольтерра второго рода
Уравнение Вольтерра в отличие от уравнения Фредгольма характеризуется переменным
верхним пределом.
ϕ(t) = λ
Z
t
a
K(t, s)ϕ(s)ds + f(t) (35)
К уравнениям такого типа приводит, в частности, задача Коши для дифференциаль-
ных уравнений. Рассмотрим в качестве примера задачу Коши для линейного уравнения
2 порядка
y
00
+ p(x)y
0
+ q(x)y = f(x), y(a) = A, y
0
(a) = B
Обозначим y
00
= ϕ(x) и вычислим последовательно y
0
(x), y(x) с учетом начальных
значений.
y
0
(x) =
Z
x
a
ϕ(t)dt + B
y(x) =
Z
x
a
y
0
(s)ds + A =
Z
x
a
ds
·
Z
s
a
dtϕ(t) + B
¸
+ A =
=
Z
x
a
dtϕ(t)(x − t) + B(x − a) + A
Подставив все в уравнение, получим уравнение Вольтерра для функции ϕ(t).
Уравнение Вольтерра в принципе можно рассматривать как частный случай уравне-
ния Фредгольма. Ядро K(t, s) в (35) определено при a ≤ s ≤ t. Доопределив его нулем
при s > t, можно вместо (35) написать эквивалентное уравнение Фредгольма
Z
t
a
K(t, s)ϕ(s)ds ⇒
Z
b
a
˜
K(t, s)ϕ(s)ds
Таким образом, для уравнений Вольтерра должны быть справедливы теоремы Фред-
гольма. Но для них справедливы и более сильные утверждения.
Построим ряд последовательных приближений
Уравнение: ϕ =
ˆ
Aϕ = λ
ˆ
Kϕ + f
y
0
(t) = f(t), y
1
(t) =
ˆ
Ay
0
(t), ... y
n
(t) =
ˆ
Ay
n−1
(t), ...
15
    2. У резольвенты, рассматриваемой как функция от λ, во всей λ-плоскости нет ника-
       ких особенностей, кроме изолированных полюсов (мероморфная функция).
    3. Полюса резольвенты есть характеристические числа.
    4. При малых λ резольвента определяется формулой (28).
    5. Резольвента сама является решением интегральных уравнений:
                                                 Z b
                          R(x, t; λ) = K(x, t) +     K(x, τ )R(τ, t; λ)dτ
                                                  a
                                                 Z b                                 (34)
                          R(x, t; λ) = K(x, t) +     K(τ, t)R(x, τ ; λ)dτ
                                                                    a


4     Уравнения Вольтерра второго рода
Уравнение Вольтерра в отличие от уравнения Фредгольма характеризуется переменным
верхним пределом.                  Z                t
                                    ϕ(t) = λ            K(t, s)ϕ(s)ds + f (t)        (35)
                                                a
   К уравнениям такого типа приводит, в частности, задача Коши для дифференциаль-
ных уравнений. Рассмотрим в качестве примера задачу Коши для линейного уравнения
2 порядка
                y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = f (x), y(a) = A, y 0 (a) = B
   Обозначим y 00 = ϕ(x) и вычислим последовательно y 0 (x), y(x) с учетом начальных
значений.

                               Z    x
                      0
                     y (x) =            ϕ(t)dt + B
                                   a
                               Z    x                      Z    x       ·Z   s   ¸
                                        0
                     y(x) =     y (s)ds + A =    ds     dtϕ(t) + B + A =
                             a                 a      a
                       Z x
                     =     dtϕ(t)(x − t) + B(x − a) + A
                          a

Подставив все в уравнение, получим уравнение Вольтерра для функции ϕ(t).
   Уравнение Вольтерра в принципе можно рассматривать как частный случай уравне-
ния Фредгольма. Ядро K(t, s) в (35) определено при a ≤ s ≤ t. Доопределив его нулем
при s > t, можно вместо (35) написать эквивалентное уравнение Фредгольма
                       Z t                   Z b
                           K(t, s)ϕ(s)ds ⇒       K̃(t, s)ϕ(s)ds
                               a                                    a

   Таким образом, для уравнений Вольтерра должны быть справедливы теоремы Фред-
гольма. Но для них справедливы и более сильные утверждения.
Построим ряд последовательных приближений
Уравнение: ϕ = Âϕ = λK̂ϕ + f

                   y0 (t) = f (t), y1 (t) = Ây0 (t), ... yn (t) = Âyn−1 (t), ...

                                                           15

Страницы