Краевые задачи и интегральные уравнения для физиков. Калошин А.Е. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

Теперь n-ый член напишем так:
y
n
(t) = y
0
+ (y
1
− y
0
) + (y
2
− y
1
) + ... + (y
n
− y
n−1
) = y
0
+
n
X
i=1
(y
i
− y
i−1
),
и вместо сходимости последовательности мы будем изучать сходимость ряда.
Оценим по модулю слагаемые в этом ряду.
| y
1
(t) − y
0
(t) | = |
ˆ
A y
0
− y
0
| ≤ | λ
Z
t
a
K(t, s)f(s)ds | ≤
≤ | λ |
Z
t
a
| K(t, s) || f(s) | ds ≤
≤| λ | MF (t − a), (36)
где M = max
∆
| K(t, s) | , F = max
[a,b]
| f(t) |.
| y
2
(t) − y
1
(t) | = |
µ
λ
Z
t
a
K(t, s)y
1
(s)ds + f(t)
−
µ
λ
Z
t
a
K(t, s)y
0
(s)ds + f(t)
| =
=| λ
Z
t
a
K(t, s)(y
1
(s) − y
0
(s))ds | ≤ | λ |
Z
t
a
| λ | MF (s − a)ds =
=| λ |
2
M
2
F (t − a)
2
/2
Для n-го члена очевидным образом имеем оценку:
| y
n
(t) − y
n−1
(t) | ≤ | λ |
n
M
n
F (t − a)
n
/n!
Возвращаемся к последовательности
| y
n
| ≤
n
X
k=1
| y
k
(t) − y
k−1
(t) | ≤ F
n
X
k=1
| λ |
k
[M(t − a)]
k
k!
Таким образом, функциональный ряд мажорируется сходящимся степенным рядом, по-
этому он сходится равномерно и абсолютно. Стало быть уравнение Вольтерра второго
рода решается однозначно при любом виде свободного члена f(t). Для него реализу-
ется первая возможность альтернативы Фредгольма, оно не имеет характеристических
чисел.
Однородное уравнение Вольтерра имеет только тривиальное решение.
ϕ = λ
ˆ
Kϕ =
ˆ
Aϕ
Предположим, что оно имеет нетривиальное решение ψ
0
(t). Построим последователь-
ность:
ψ
0
(t)
ψ
1
(t) =
ˆ
Aψ
0
= ψ
0
ψ
2
(t) =
ˆ
Aψ
1
= ψ
0
...
ψ
n
(t) =
ˆ
Aψ
n−1
= ψ
0
...
16
Теперь n-ый член напишем так:
                                                                                                n
                                                                                                X
         yn (t) = y0 + (y1 − y0 ) + (y2 − y1 ) + ... + (yn − yn−1 ) = y0 +                            (yi − yi−1 ),
                                                                                                i=1

и вместо сходимости последовательности мы будем изучать сходимость ряда.

   Оценим по модулю слагаемые в этом ряду.
                                                                          Z       t
                      | y1 (t) − y0 (t) | = | Â y0 − y0 | ≤ | λ                      K(t, s)f (s)ds | ≤
                                                                              a
                                 Z t
                       ≤|λ|           | K(t, s) || f (s) | ds ≤
                                         a
                      ≤| λ | M F (t − a),                                                                             (36)
где M = max∆ | K(t, s) | , F = max[a,b] | f (t) |.
                            µ Z t                           ¶ µ Z t                            ¶
     | y2 (t) − y1 (t) | = | λ       K(t, s)y1 (s)ds + f (t) − λ        K(t, s)y0 (s)ds + f (t) | =
                                 a                                    a
            Z t                                       Z t
     =| λ       K(t, s)(y1 (s) − y0 (s))ds | ≤ | λ |       | λ | M F (s − a)ds =
            a                                                      a
            2   2              2
     =| λ | M F (t − a) /2
Для n-го члена очевидным образом имеем оценку:
                               | yn (t) − yn−1 (t) | ≤ | λ |n M n F (t − a)n /n!
   Возвращаемся к последовательности
                                   n
                                   X                                     n
                                                                         X                 [M (t − a)]k
                    | yn | ≤                 | yk (t) − yk−1 (t) | ≤ F            | λ |k
                                   k=1                                   k=1
                                                                                                k!

Таким образом, функциональный ряд мажорируется сходящимся степенным рядом, по-
этому он сходится равномерно и абсолютно. Стало быть уравнение Вольтерра второго
рода решается однозначно при любом виде свободного члена f (t). Для него реализу-
ется первая возможность альтернативы Фредгольма, оно не имеет характеристических
чисел.
   Однородное уравнение Вольтерра имеет только тривиальное решение.
                                                     ϕ = λK̂ϕ = Âϕ
Предположим, что оно имеет нетривиальное решение ψ0 (t). Построим последователь-
ность:
                                                     ψ0 (t)
                                                     ψ1 (t) = Âψ0 = ψ0
                                                     ψ2 (t) = Âψ1 = ψ0
                                                     ...
                                                     ψn (t) = Âψn−1 = ψ0
                                                     ...

                                                              16

Страницы