Краевые задачи и интегральные уравнения для физиков. Калошин А.Е. - 16 стр.

   Рассмотрим ядро K̃:
                      X                       Z       b                  X                       n
                                                                                                 X
      K̃(t, τ, λ) =       ai (t)bi (τ ) + λ               Rε (t, s, λ)       ai (s)bi (τ )ds =         ãi (t, λ)bi (τ ).   (33)
                      i                           a                      i                       i=1


   Новое ядро K̃ оказалось вырожденным !!

   Таким образом, знание резольвенты позволяет свести дело (при | λ |< 1/ε(b − a))
к эквивалентному интегральному уравнению с вырожденным ядром. Стало быть
внутри круга | λ |= 1/ε(b − a) имеется конечное число характеристических чисел λi .
Но, согласно теореме Вейерштрасса, величину ε = max | Kε (t, s) | можно сделать сколь
угодно малой.
 Теорема Вейерштрасса
Всякую непрерывную в Q функцию можно приблизить полиномом с любой заданной
точностью ε.
                   K(t, s) = P n (t, s) + Kε (t, s), max Kε (t, s) = ε
                                                                                 Q
или
                                    K(t, s) = KB (t, s) + Kε (t, s),


Поэтому область | λ |< 1/ε(b − a) можно сделать сколь угодно большой. Внутри этой
области дело сводится к уравнению с вырожденным ядром и справедливы доказанные
выше три теоремы Фредгольма. Это означает, что они справедливы и для ядер общего
вида в сколь угодно широкой области. Кроме того, справедлива

 4 теорема Фредгольма
Уравнение Фредгольма имеет не более, чем счетное множество характеристических
чисел, которые могут сгущаться только на бесконечности.


   Итак, мы доказали теоремы Фредгольма для непрерывных ядер и непрерывного
неоднородного члена. Однако эти теоремы справедливы и при более слабых требовани-
ях: достаточно квадратичной интегрируемости ядра и свободного члена.
   Следствием теорем Фредгольма является так называемая
Теорема об альтернативе
Если однородное уравнение Фредгольма имеет только тривиальное решение, то неод-
нородное уравнение однозначно разрешимо при любом свободном члене f (t).
   Если же однородное уравнение имеет нетривиальное решение, то, в зависимости
от вида f (t), неоднородное уравнение либо не имеет решений вовсе, либо имеет беско-
нечное множество решений.

3.4    Свойства резольвенты
Перечислим основные свойства резольвенты:
  1. Резольвента единственна.


                                                                  14