Краевые задачи и интегральные уравнения для физиков. Калошин А.Е. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

2. Все СЗ действительны.
От противного: пусть СЗ комплексное λ = α + iβ. Тогда
ϕ(t) = (α + iβ)
Z
b
a
K(t, s)ϕ(s)ds
ϕ
∗
(t) = (α − iβ)
Z
b
a
K(t, s)ϕ
∗
(s)ds
Функции ϕ(t) и ϕ
∗
(t) относятся к различным собственным значениям, поэтому
(ϕ, ϕ
∗
) = 0 по свойству 1. Это означает
Z
b
a
| ϕ(t) |
2
dt = 0, ⇒ ϕ(t) = 0
Пришли к противоречию.
3. СФ могут быть выбраны вещественными.
Из линейности и вещественности вытекает очевидное свойство: если комплексная
функция ϕ(t) = U(t)+iV (t) является СФ, отвечающей СЗ λ, то реальная и мнимая
части по отдельности тоже являются СФ. Отсюда утверждение.
4. Ортогонализация СФ.
Одному СЗ µ
i
= 1/λ
i
может отвечать несколько (конечное число по 2-й теоре-
ме Фредгольма) линейно-независимых СФ ϕ
1
(t), ϕ
2
(t), ..., ϕ
m
(t). При этом лю-
бая их линейная комбинация тоже является СФ. Поэтому, пользуясь этим свой-
ством, можно перейти к другому набору СФ, который является ортонормирован-
ным: {ϕ
i
} ⇒ {ψ
i
}, (ψ
i
, ψ
j
) = δ
ij
. Делается это так:
• ψ
1
= a ϕ
1
, число a находится из (ψ
1
, ψ
1
) = 1.
• ψ
2
= b (ϕ
2
+ b
2
ψ
1
). Из условия
(ψ
1
, ψ
2
) = b [(ψ
1
, ϕ
2
) + b
1
] = 0 находим b
1
= −(ψ
1
, ϕ
2
), затем
(ψ
2
, ψ
2
) = 1 определяет b.
• ψ
3
= c (ϕ
3
+ c
2
ψ
2
+ c
1
ψ
1
)
0 = (ψ
1
, ψ
3
) = c [(ψ
1
, ϕ
3
) + c
1
] ⇒ c
1
= −(ψ
1
, ϕ
3
)
0 = (ψ
2
, ψ
3
) = c [(ψ
2
, ϕ
3
) + c
2
] ⇒ c
2
= −(ψ
2
, ϕ
3
)
1 = (ψ
3
, ψ
3
)
• ...
Такая процедура (ортогонализация по Шмидту ) позволяет последовательно по-
строить набор ортонормированных собственных функций для данного собственно-
го значения. В дальнейшем мы будем считать, что ортогонализация уже проведена
и мы имеем ортонормированную систему СФ. Возьмем среди них максимальную в
том смысле, что любая СФ линейно выражается через них.
ϕ
1
ϕ
2
... ϕ
n
...
λ
1
λ
2
... λ
n
... (37)
Упорядочим их по возрастанию λ
| λ
1
| ≤ | λ
2
| ≤ ... ≤ | λ
n
| ≤ ...
Если есть несколько СФ, отвечающих одному λ, то мы их повторим в этой после-
довательности.
18
2. Все СЗ действительны.
   От противного: пусть СЗ комплексное λ = α + iβ. Тогда
                                          Z b
                          ϕ(t) = (α + iβ)     K(t, s)ϕ(s)ds
                                           a
                                         Z b
                         ∗
                        ϕ (t) = (α − iβ)     K(t, s)ϕ∗ (s)ds
                                                a
  Функции ϕ(t) и ϕ∗ (t) относятся к различным собственным значениям, поэтому
  (ϕ, ϕ∗ ) = 0 по свойству 1. Это означает
                            Z b
                                | ϕ(t) |2 dt = 0, ⇒ ϕ(t) = 0
                              a
  Пришли к противоречию.
3. СФ могут быть выбраны вещественными.
   Из линейности и вещественности вытекает очевидное свойство: если комплексная
   функция ϕ(t) = U (t)+iV (t) является СФ, отвечающей СЗ λ, то реальная и мнимая
   части по отдельности тоже являются СФ. Отсюда утверждение.
4. Ортогонализация СФ.
   Одному СЗ µi = 1/λi может отвечать несколько (конечное число по 2-й теоре-
   ме Фредгольма) линейно-независимых СФ          ϕ1 (t), ϕ2 (t), ..., ϕm (t). При этом лю-
   бая их линейная комбинация тоже является СФ. Поэтому, пользуясь этим свой-
   ством, можно перейти к другому набору СФ, который является ортонормирован-
   ным: {ϕi } ⇒ {ψi }, (ψi , ψj ) = δij . Делается это так:
     • ψ1 = a ϕ1 , число a находится из (ψ1 , ψ1 ) = 1.
     • ψ2 = b (ϕ2 + b2 ψ1 ). Из условия
       (ψ1 , ψ2 ) = b [(ψ1 , ϕ2 ) + b1 ] = 0 находим b1 = −(ψ1 , ϕ2 ), затем
       (ψ2 , ψ2 ) = 1 определяет b.
     • ψ3 = c (ϕ3 + c2 ψ2 + c1 ψ1 )
       0 = (ψ1 , ψ3 ) = c [(ψ1 , ϕ3 ) + c1 ] ⇒ c1 = −(ψ1 , ϕ3 )
       0 = (ψ2 , ψ3 ) = c [(ψ2 , ϕ3 ) + c2 ] ⇒ c2 = −(ψ2 , ϕ3 )
       1 = (ψ3 , ψ3 )
     • ...
  Такая процедура (ортогонализация по Шмидту ) позволяет последовательно по-
  строить набор ортонормированных собственных функций для данного собственно-
  го значения. В дальнейшем мы будем считать, что ортогонализация уже проведена
  и мы имеем ортонормированную систему СФ. Возьмем среди них максимальную в
  том смысле, что любая СФ линейно выражается через них.
                                  ϕ1 ϕ2 ... ϕn        ...
                                  λ1 λ2 ... λn        ...                             (37)
  Упорядочим их по возрастанию λ
                              | λ1 | ≤ | λ2 | ≤ ... ≤ | λn | ≤ ...
  Если есть несколько СФ, отвечающих одному λ, то мы их повторим в этой после-
  довательности.

                                           18

Страницы