Краевые задачи и интегральные уравнения для физиков. Калошин А.Е. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

Либо этот процесс оборвется на каком–то шаге (т.е. мы исчерпаем все СЗ) и в ре-
зультате будем иметь вырожденное ядро
K(t, s) =
m
X
i=1
ϕ
i
(t)ϕ
i
(s)
λ
i
и утверждение, что всякое симметричное ядро с конечным числом СЗ является
вырожденным.
Либо этот процесс можно продолжать до бесконечности и после конечного числа
шагов мы имеем формулу
K(t, s) =
n
X
i=1
ϕ
i
(t)ϕ
i
(s)
λ
i
+ K
n
(t, s). (38)
Эта формула называется билинейным разложением ядра, а K
n
(t, s) называется
остаточным ядром (не путать с повторным ядром).
Интересный вопрос о сходимости этой последовательности мы обсудим чуть позднее,
а пока нам понадобится следующая теорема.
Теорема Гильберта-Шмидта
Всякая функция, представимая через симметричное ядро в виде
f(t) =
Z
b
a
K(t, s)h(s)ds
(истокообразно представимая), где функция h(s) квадратично интегрируема, может
быть разложена в ряд по собственным функциям ядра K(t, s), который сходится рав-
номерно и абсолютно.
Без доказательства.
Итак, функция разложима в ряд
f(t) =
X
n
f
n
ϕ
n
(t) (39)
и надо найти коэффициенты разложения. Для этого умножим (39) на ϕ
m
(t) и проинтегрируем.
С учетом ортонормированности СФ найдем, что коэффициенты равны
f
m
= (f, ϕ
m
)
Пусть теперь мы имеем функцию, истокообразно представимую через ядро
f(t) =
Z
b
a
K(t, s)h(s)ds.
Раскладываем эту функцию в ряд и вычисляем коэффициенты
f
m
= (f, ϕ
m
) =
Z Z
dtdsϕ
m
(t)K(t, s)h(s) =
Z
b
a
ds h(s)
ϕ
m
(t)
λ
m
=
h
m
λ
m
.
Итого:
f(t) =
X
n
ϕ
n
(t) ·
h
n
λ
n
.
20
   Либо этот процесс оборвется на каком–то шаге (т.е. мы исчерпаем все СЗ) и в ре-
зультате будем иметь вырожденное ядро
                                            Xm
                                                ϕi (t)ϕi (s)
                                  K(t, s) =
                                            i=1
                                                     λi
и утверждение, что всякое симметричное ядро с конечным числом СЗ является
вырожденным.

  Либо этот процесс можно продолжать до бесконечности и после конечного числа
шагов мы имеем формулу
                                      Xn
                                          ϕi (t)ϕi (s)
                            K(t, s) =                  + Kn (t, s).                 (38)
                                      i=1
                                               λi
Эта формула называется билинейным разложением ядра, а Kn (t, s) называется
остаточным ядром (не путать с повторным ядром).
   Интересный вопрос о сходимости этой последовательности мы обсудим чуть позднее,
а пока нам понадобится следующая теорема.
Теорема Гильберта-Шмидта
Всякая функция, представимая через симметричное ядро в виде
                                    Z b
                            f (t) =     K(t, s)h(s)ds
                                              a

(истокообразно представимая), где функция h(s) квадратично интегрируема, может
быть разложена в ряд по собственным функциям ядра K(t, s), который сходится рав-
номерно и абсолютно.
Без доказательства.

   Итак, функция разложима в ряд
                                                  X
                                     f (t) =               fn ϕn (t)                (39)
                                                      n

и надо найти коэффициенты разложения. Для этого умножим (39) на ϕm (t) и проинтегрируем.
С учетом ортонормированности СФ найдем, что коэффициенты равны
                                        fm = (f, ϕm )
Пусть теперь мы имеем функцию, истокообразно представимую через ядро
                                       Z b
                               f (t) =     K(t, s)h(s)ds.
                                              a
Раскладываем эту функцию в ряд и вычисляем коэффициенты
                           Z Z                         Z b
                                                                   ϕm (t)   hm
           fm = (f, ϕm ) =     dtdsϕm (t)K(t, s)h(s) =     ds h(s)        =    .
                                                        a           λm      λm

Итого:
                                              X                      hn
                                    f (t) =               ϕn (t) ·      .
                                                  n
                                                                     λn


                                                      20

Страницы