Краевые задачи и интегральные уравнения для физиков. Калошин А.Е. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

5.3 Формула Шмидта для решения
Имеем интегральное уравнение с симметричным ядром
ϕ(t) = λ
Z
b
a
K(t, s)ϕ(s)ds + f(t).
Если λ не равняется характеристическому числу, то по теореме Фредгольма уравнение имеет
единственное решение. Согласно теореме Гильберта–Шмидта решение представимо в виде:
ϕ(t) =
X
i
c
i
ϕ
i
(t) + f(t).
Подставим в уравнение:
X
i
c
i
ϕ
i
(t) + f(t) = λ
Z
b
a
K(t, s)
Ã
X
i
c
i
ϕ
i
(s) + f(s)
!
+ f(t) ⇒
⇒
X
i
c
i
ϕ
i
(t) = λ
X
i
c
i
ϕ
i
(t)
1
λ
i
+ λ
Z
b
a
K(t, s)f(s)ds ⇒
⇒
X
i
c
i
ϕ
i
(t) = λ
X
i
c
i
ϕ
i
(t)
1
λ
i
+ λ
X
i
ϕ
i
(t)
f
i
λ
i
(40)
Ряды сходятся равномерно, поэтому, сравнивая коэффициенты, находим:
c
i
=
λf
i
λ
i
− λ
.
Если λ = λ
k
, то по третьей теореме Фредгольма решение существует, если f (t) ортогональна
всем СФ ядра, соответствующим этому СЗ λ
k
. Это означает, что в сумме
f(t) =
∞
X
i=1
ϕ
i
(t)f
i
не должно быть членов, соответствующих этому λ. Если функция f(t) обладает этим свой-
ством, то решение существует.
Итого, формулы Шмидта для решения:
λ 6= λ
k
ϕ(t) = λ
X
i
ϕ
i
(t)
f
i
λ
i
− λ
+ f(t).
Ряд сходится равномерно и абсолютно.
λ = λ
k
Необходимое и достаточное условие – ортогональность. Если это так, то решение имеет вид:
ϕ(t) = λ
k
X
i
0
ϕ
i
(t)
f
i
λ
i
− λ
k
+
p
X
l=1
α
l
ϕ
(l)
(k)
(t) + f(t).
Здесь вторая сумма представляет из себя решение однородного уравнеия, p – ранг характери-
стического числа λ
k
, α
l
– произвольные числа, штрих около первой суммы указывает на то,
что в сумме отсутствует слагаемое с i = k.
21
5.3   Формула Шмидта для решения
Имеем интегральное уравнение с симметричным ядром
                                              Z          b
                                ϕ(t) = λ                     K(t, s)ϕ(s)ds + f (t).
                                                     a

Если λ не равняется характеристическому числу, то по теореме Фредгольма уравнение имеет
единственное решение. Согласно теореме Гильберта–Шмидта решение представимо в виде:
                                        X
                                 ϕ(t) =   ci ϕi (t) + f (t).
                                                             i

Подставим в уравнение:
                                             Z                         Ã                                !
              X                                      b                  X
                   ci ϕi (t) + f (t) = λ                 K(t, s)                  ci ϕi (s) + f (s)         + f (t) ⇒
               i                              a                           i
                       X                     X                                     Z       b
                                                                  1
                   ⇒       ci ϕi (t) = λ                 ci ϕi (t) + λ                         K(t, s)f (s)ds ⇒
                                                                  λi                a
                       i                         i
                       X                     X                         1     X        fi
                   ⇒       ci ϕi (t) = λ                 ci ϕi (t)        +λ   ϕi (t)                                   (40)
                                                                       λi             λi
                       i                         i                                     i

Ряды сходятся равномерно, поэтому, сравнивая коэффициенты, находим:
                                                                  λfi
                                                     ci =               .
                                                                 λi − λ
Если λ = λk , то по третьей теореме Фредгольма решение существует, если f (t) ортогональна
всем СФ ядра, соответствующим этому СЗ λk . Это означает, что в сумме
                                                                 ∞
                                                                 X
                                             f (t) =                   ϕi (t)fi
                                                                 i=1

не должно быть членов, соответствующих этому λ. Если функция f (t) обладает этим свой-
ством, то решение существует.
    Итого, формулы Шмидта для решения:
λ 6= λk
                                       X          fi
                              ϕ(t) = λ   ϕi (t)        + f (t).
                                                λi − λ
                                                     i

Ряд сходится равномерно и абсолютно.
λ = λk
Необходимое и достаточное условие – ортогональность. Если это так, то решение имеет вид:

                                   X                        X                 p
                                       0             fi           (l)
                       ϕ(t) = λk           ϕi (t)         +   αl ϕ(k) (t) + f (t).
                                                  λi − λk
                                   i                                       l=1

Здесь вторая сумма представляет из себя решение однородного уравнеия, p – ранг характери-
стического числа λk , αl – произвольные числа, штрих около первой суммы указывает на то,
что в сумме отсутствует слагаемое с i = k.



                                                                 21

Страницы