Краевые задачи и интегральные уравнения для физиков. Калошин А.Е. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

Теперь вернемся к билинейному разложению ядра (38) и обсудим его сходимость
K(t, s) =
n
X
i=1
ϕ
i
(t)ϕ
i
(s)
λ
i
+ K
n
(t, s).
Гарантировать сходимость этого разложения нельзя. Сходится оно лишь в среднем, т.е.
lim
n→∞
Z
b
a
Ã
K(t, s) −
n
X
i=1
ϕ
i
(t)ϕ
i
(s)
λ
i
!
2
dt = 0 при фиксир. s. (41)
Докажем, что билинейное разложение сходится в среднем.
Вначале рассмотрим повторное ядро, которое нам понадобится для доказательства.
K
2
(t, s) =
Z
b
a
K(t, τ)K(τ, s)dτ.
Если считать s фиксированным, то по теореме Гильберта–Шмидта K
2
можно разложить в ряд,
который сходится равномерно и абсолютно.
K
2
(t, s) =
X
i
c
i
ϕ
i
(t).
Найдем коэффициенты разложения
c
i
=
Z
b
a
K
2
(t, s)ϕ
i
(t)dt =
Z
b
a
dtϕ
i
(t)
µ
Z
b
a
dτK(t, τ)K(τ, s)
=
=
1
λ
i
Z
b
a
dτK(τ, s)ϕ
i
(s) =
ϕ
i
(s)
λ
2
i
.
Итого
K
2
(t, s) =
∞
X
i=1
ϕ
i
(t) · ϕ
i
(s)
λ
2
i
и ряд сходится абсолютно и равномерно при фиксированном s. При совпадающих аргументах
ряд сходится, но не обязательно равномерно.
Теперь рассмотрим интеграл в (41):
Z
b
a
Ã
K(t, s) −
n
X
i=1
ϕ
i
(t)ϕ
i
(s)
λ
i
!
2
dt =
=
Z
b
a
K(t, s) · K(t, s) − 2 K(t, s)
n
X
i=1
ϕ
i
(t)ϕ
i
(s)
λ
i
n
X
i,j=1
ϕ
i
(s)ϕ
j
(s)
λ
i
λ
j
(ϕ
i
, ϕ
j
)
=
= K
2
(s, s) −
n
X
i=1
ϕ
i
(s)ϕ
i
(s)
λ
2
i
. (42)
При n → ∞ эта разность стремится к нулю, стало быть, билинейное разложение сходится в
среднем, что и требовалось доказать.
22
   Теперь вернемся к билинейному разложению ядра (38) и обсудим его сходимость
                                                   n
                                                   X ϕi (t)ϕi (s)
                                         K(t, s) =                + Kn (t, s).
                                                          λi
                                                         i=1

Гарантировать сходимость этого разложения нельзя. Сходится оно лишь в среднем, т.е.
                    Z bà         n
                                  X
                                                 !2
                                    ϕi (t)ϕi (s)
                lim     K(t, s) −                   dt = 0                                         при фиксир. s.     (41)
               n→∞ a                     λi
                                                  i=1

Докажем, что билинейное разложение сходится в среднем.
   Вначале рассмотрим повторное ядро, которое нам понадобится для доказательства.
                                                               Z   b
                                            K2 (t, s) =                K(t, τ )K(τ, s)dτ.
                                                               a

Если считать s фиксированным, то по теореме Гильберта–Шмидта K2 можно разложить в ряд,
который сходится равномерно и абсолютно.
                                              X
                                  K2 (t, s) =   ci ϕi (t).
                                                                            i

Найдем коэффициенты разложения
                           Z   b                                   Z   b              µZ   b                     ¶
                  ci =             K2 (t, s)ϕi (t)dt =                     dtϕi (t)            dτ K(t, τ )K(τ, s) =
                           a                                       a                   a
                           Z       b
                      1                                            ϕi (s)
                  =                    dτ K(τ, s)ϕi (s) =                 .
                      λi       a                                    λ2i

Итого
                                                                   X∞
                                                                       ϕi (t) · ϕi (s)
                                               K2 (t, s) =
                                                                   i=1
                                                                             λ2i
и ряд сходится абсолютно и равномерно при фиксированном s. При совпадающих аргументах
ряд сходится, но не обязательно равномерно.
   Теперь рассмотрим интеграл в (41):
          Z bà           Xn
                                           !2
                              ϕi (t)ϕi (s)
                K(t, s) −                     dt =
           a                       λi
                          i=1
                                                                                         
             Z b                                 Xn              n
                                                                 X
                 K(t, s) · K(t, s) − 2 K(t, s)     ϕi (t)ϕi (s)   ϕi (s)ϕj (s)
          =                                                                     (ϕi , ϕj ) =
              a                                          λi            λi λj
                                                                       i=1                     i,j=1
                           n
                           X            ϕi (s)ϕi (s)
          = K2 (s, s) −                              .                                                                (42)
                           i=1
                                             λ2i

При n → ∞ эта разность стремится к нулю, стало быть, билинейное разложение сходится в
среднем, что и требовалось доказать.




                                                                       22

Страницы