Краевые задачи и интегральные уравнения для физиков. Калошин А.Е. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

5.4 Экстремальные свойства собственных функций и собственных значений
В силу теоремы Гильберта-Шмидта
Z
b
a
K(x, s)ϕ(s)ds =
∞
X
i=1
ϕ
i
(x)
a
i
λ
i
, a
i
= (ϕ, ϕ
i
). (43)
Умножая это равенство на ϕ(x) и интегрируя, получим
Z
b
a
Z
b
a
K(x, s)ϕ(x)ϕ(s)dsdx =
∞
X
i=1
a
2
i
λ
i
. (44)
Отсюда с помощью неравенства Бесселя можно получить:
¯
¯
¯
¯
Z
b
a
Z
b
a
K(x, s)ϕ(x)ϕ(s)dsdx
¯
¯
¯
¯
≤
1
| λ
1
|
(ϕ, ϕ), (45)
где λ
1
– наименьшее из всех характеристических чисел. Если ϕ = ϕ
1
, то неравенство превра-
щается в равенство.
Таким образом, фунционал
¯
¯
¯
(
ˆ
Kϕ, ϕ)
¯
¯
¯
на множестве функций, нормированных на единицу,
достигает максимума 1/ | λ
1
| при ϕ = ϕ
1
.
6 Задача Штурма-Лиувилля
Задачей Штурма-Лиувилля называется краевая задача вида:
ˆ
Lu + λρ(x)u = 0, u(a) = 0, u(b) = 0. (46)
Здесь
ˆ
L – дифференциальный оператор второго порядка, записанный в самосопряженном виде
ˆ
Lu = (p(x)u
0
(x))
0
− q(x)u(x),
p(x) – непрерывно дифференцируемая на отрезке [a, b] функция, функции q(x), ρ(x) предпола-
гаются непрерывными. Кроме того, будем предполагать
p(x) > 0, ρ(x) > 0 q(x) ≥ 0.
Значение λ, при котором существует нетривиальное решение, называется собственным значе-
нием задачи Штурма–Лиувилля, соответственно u(x) — собственная функция.
Задача Штурма-Лиувилля возникает при решении уравнений в частных производных, если
вы пытаетесь найти частное решение с разделенными переменными.
6.1 Эквивалентность интегральному уравнению
Для начала вспомним свойства краевой задачи
ˆ
Lu = f, u(a) = u(b) = 0. (47)
Как известно, решение этой краевой задачи можно выразить через функцию Грина:
u(x) =
Z
b
a
G(x, s)f(s)ds. (48)
23
5.4   Экстремальные свойства собственных функций и собственных значений
В силу теоремы Гильберта-Шмидта
                      Z    b                        ∞
                                                    X                 ai
                               K(x, s)ϕ(s)ds =               ϕi (x)      ,       ai = (ϕ, ϕi ).   (43)
                       a                                              λi
                                                    i=1

Умножая это равенство на ϕ(x) и интегрируя, получим
                                 Z bZ     b                                     ∞
                                                                                X a2    i
                                              K(x, s)ϕ(x)ϕ(s)dsdx =                         .     (44)
                                  a   a                                                λi
                                                                                 i=1

Отсюда с помощью неравенства Бесселя можно получить:
                      ¯Z b Z b                    ¯
                      ¯                           ¯
                      ¯        K(x, s)ϕ(x)ϕ(s)dsdx¯ ≤ 1 (ϕ, ϕ),                                   (45)
                      ¯                           ¯ | λ1 |
                        a   a

где λ1 – наименьшее из всех характеристических чисел. Если ϕ = ϕ1 , то неравенство превра-
щается в равенство.            ¯       ¯
                               ¯       ¯
   Таким образом, фунционал ¯(K̂ϕ, ϕ)¯ на множестве функций, нормированных на единицу,
достигает максимума 1/ | λ1 | при ϕ = ϕ1 .


6     Задача Штурма-Лиувилля
Задачей Штурма-Лиувилля называется краевая задача вида:

                               L̂u + λρ(x)u = 0,               u(a) = 0, u(b) = 0.                (46)
Здесь L̂ – дифференциальный оператор второго порядка, записанный в самосопряженном виде

                                      L̂u = (p(x)u0 (x))0 − q(x)u(x),

p(x) – непрерывно дифференцируемая на отрезке [a, b] функция, функции q(x), ρ(x) предпола-
гаются непрерывными. Кроме того, будем предполагать

                                   p(x) > 0,         ρ(x) > 0                q(x) ≥ 0.

Значение λ, при котором существует нетривиальное решение, называется собственным значе-
нием задачи Штурма–Лиувилля, соответственно u(x) — собственная функция.
   Задача Штурма-Лиувилля возникает при решении уравнений в частных производных, если
вы пытаетесь найти частное решение с разделенными переменными.

6.1   Эквивалентность интегральному уравнению
Для начала вспомним свойства краевой задачи

                                        L̂u = f,         u(a) = u(b) = 0.                         (47)

Как известно, решение этой краевой задачи можно выразить через функцию Грина:
                                                    Z    b
                                          u(x) =             G(x, s)f (s)ds.                      (48)
                                                     a


                                                             23

Страницы