Краевые задачи и интегральные уравнения для физиков. Калошин А.Е. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

Задача Штурма–Лиувилля (46) может быть сведена к интегральному уравнению. Если
ˆ
Lu = −λρ(x)u(x), u(a) = 0, u(b) = 0,
то, согласно определению функции Грина,
u(x) = −λ
Z
b
a
G(x, s)ρ(s)u(s)ds.
Ядром уравнения является G(x, s)ρ(s) — несимметричное по аргументам выражение. Тем не
менее ядро можно симметризовать. Для этого достаточно умножить предыдущее уравнение на
p
ρ(x).
u(x)
p
ρ(x) = −λ
Z
b
a
p
ρ(x)G(x, s)
p
ρ(s) ·
p
ρ(s)u(s)ds.
В результате мы получим однородное интегральное уравнение Фредгольма с симметричным
ядром на функцию y(x) = u(x)
p
ρ(x):
y(x) = −λ
Z
b
a
K(x, s)y(s)ds, где K(x, s) =
p
ρ(x)G(x, s)
p
ρ(s). (49)
Тем самым, мы свели задачу Штурма-Лиувилля к эквивалентному интегральному уравнению
и можем пользоваться хорошо изученными свойствами самосопряженных ядер.
6.2 Свойства собственных функций и собственных значений
1. Задача Штурма–Лиувилля имеет бесконечное число собственных значений.
Действительно, если бы было наоборот, то G(x,t) было бы представимо в виде конечной
суммы (вспомним билинейное разложение ядер):
G(x, t) =
1
p
ρ(x)ρ(t)
·
n
X
i=1
ϕ
i
(x)ϕ
i
(t)
λ
i
, (50)
где ϕ
i
(x) – собственные функции ядра K. Тогда:
ϕ
0
i
(x) = λ
Z
b
a
K
0
(x, s)ϕ
i
(s)ds,
откуда следует, что СФ ядра является непрерывно дифференцируемой. Тогда (50) тоже
непрерывно дифференцируема, а это противоречит свойствам функции Грина – функция
Грина должна иметь скачок производной при совпадающих аргументах.
2.
Z
b
a
u
i
(x)u
j
(x)ρ(x)dx = δ
ij
Это очевидное следствие эквивалентности задачи Штурма–Лиувилля однородному инте-
гральному уравнению с симметричным ядрром.
3. Каждое собственное значение задачи Штурма–Лиувилля имеет ранг 1.
Предположим, что это не так и одному СЗ соответствуют две линейно независимые соб-
ственные функции u
1
(x) и u
2
(x) . Поскольку u
1
(x), u
2
(x) – линейно независимые решения
линейного дифференциального уравнения 2 порядка, общее решение этого уравнения на
[a, b] имеет вид:
y(x) = C
1
u
1
(x) + C
2
u
2
(x)
24
   Задача Штурма–Лиувилля (46) может быть сведена к интегральному уравнению. Если

                              L̂u = −λρ(x)u(x),               u(a) = 0, u(b) = 0,

то, согласно определению функции Грина,
                                       Z b
                             u(x) = −λ     G(x, s)ρ(s)u(s)ds.
                                                     a

Ядром уравнения является G(x, s)ρ(s) — несимметричное по аргументам выражение. Тем не
менее
p     ядро можно симметризовать. Для этого достаточно умножить предыдущее уравнение на
  ρ(x).
                       p          Z bp            p      p
                   u(x) ρ(x) = −λ      ρ(x)G(x, s) ρ(s) · ρ(s)u(s)ds.
                                           a
В результате мы получим однородное
                             p        интегральное уравнение Фредгольма с симметричным
ядром на функцию y(x) = u(x) ρ(x):
                       Z b                               p           p
             y(x) = −λ     K(x, s)y(s)ds,   где K(x, s) = ρ(x)G(x, s) ρ(s).        (49)
                             a

Тем самым, мы свели задачу Штурма-Лиувилля к эквивалентному интегральному уравнению
и можем пользоваться хорошо изученными свойствами самосопряженных ядер.

6.2    Свойства собственных функций и собственных значений
  1. Задача Штурма–Лиувилля имеет бесконечное число собственных значений.
     Действительно, если бы было наоборот, то G(x,t) было бы представимо в виде конечной
     суммы (вспомним билинейное разложение ядер):
                                                                     n
                                                                     X
                                                         1             ϕi (x)ϕi (t)
                                    G(x, t) = p                  ·                    ,   (50)
                                                      ρ(x)ρ(t)              λi
                                                                     i=1

       где ϕi (x) – собственные функции ядра K. Тогда:
                                                Z b
                                      0
                                     ϕi (x) = λ     K 0 (x, s)ϕi (s)ds,
                                                         a

       откуда следует, что СФ ядра является непрерывно дифференцируемой. Тогда (50) тоже
       непрерывно дифференцируема, а это противоречит свойствам функции Грина – функция
       Грина должна иметь скачок производной при совпадающих аргументах.

  2.                                     Z     b
                                                   ui (x)uj (x)ρ(x)dx = δij
                                           a
       Это очевидное следствие эквивалентности задачи Штурма–Лиувилля однородному инте-
       гральному уравнению с симметричным ядрром.

  3. Каждое собственное значение задачи Штурма–Лиувилля имеет ранг 1.
     Предположим, что это не так и одному СЗ соответствуют две линейно независимые соб-
     ственные функции u1 (x) и u2 (x) . Поскольку u1 (x), u2 (x) – линейно независимые решения
     линейного дифференциального уравнения 2 порядка, общее решение этого уравнения на
     [a, b] имеет вид:
                                     y(x) = C1 u1 (x) + C2 u2 (x)

                                                         24

Страницы