ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
7 Интегральные уравнения 1-го рода
7.1 Уравнение Фредгольма 1-го рода
Интегральное уравнение Фредгольма первого рода
Z
b
a
K(x, s)ϕ(s)ds = f(x) (52)
не для всякой функции f (x) имеет решение. Пусть, например, ядро имеет вид многочлена по
x
K(x, s) = a
0
(s) + xa
1
(s) + . . . + x
n
a
n
(s).
Тогда левая часть (52) принимает вид многочлена
b
0
+ xb
1
+ . . . + x
n
b
n
и ясно, что уравнение (52) может иметь решение только, если f(x) тоже имеет вид многочлена
n-ой степени.
Если K(x, s) – симметричное ядро, то удобно искать решение в виде ряда по СФ ядра
ϕ(x) =
∞
X
i=1
ϕ
i
(x) · c
i
.
Подставив в уравнение, получим значения коэффициентов: c
i
= λ
i
f
i
. После получения фор-
мального решения остаются более тонкие вопросы о существовании нетривиального решения
у однородного уравнения 1-го рода и о сходимости ряда.
7.2 Уравнение Вольтерра 1-го рода
Интегральное уравнение Вольтерра первого рода
Z
x
a
K(x, s)ϕ(s)ds = f(x) (53)
можно свести к уравнению Вольтера второго рода. Дифференцируем (53), считая, что K
0
x
(x, s)
и f
0
(x) существуют и непрерывны.
K(x, x)ϕ(x) +
Z
x
a
K
0
x
(x, s)ϕ(s)ds = f
0
(x). (54)
Если K(x, x) 6= 0, мы можем поделить на него и получить уравнение Вольтерра второго рода:
ϕ(x) +
Z
x
a
K
0
x
(x, s)
K(x, x)
ϕ(s)ds =
f
0
(x)
K(x, x)
. (55)
Если же K(x, x) = 0, мы по-прежнему имеем уравнение первого рода. В этом случае можно
попытаться еще раз продифференцировать (54) и, если K
0
x
(x, x) 6= 0, мы получим уравнение
Вольтерра второго рода.
26
7 Интегральные уравнения 1-го рода
7.1 Уравнение Фредгольма 1-го рода
Интегральное уравнение Фредгольма первого рода
Z b
K(x, s)ϕ(s)ds = f (x) (52)
a
не для всякой функции f (x) имеет решение. Пусть, например, ядро имеет вид многочлена по
x
K(x, s) = a0 (s) + xa1 (s) + . . . + xn an (s).
Тогда левая часть (52) принимает вид многочлена
b0 + xb1 + . . . + xn bn
и ясно, что уравнение (52) может иметь решение только, если f (x) тоже имеет вид многочлена
n-ой степени.
Если K(x, s) – симметричное ядро, то удобно искать решение в виде ряда по СФ ядра
∞
X
ϕ(x) = ϕi (x) · ci .
i=1
Подставив в уравнение, получим значения коэффициентов: ci = λi fi . После получения фор-
мального решения остаются более тонкие вопросы о существовании нетривиального решения
у однородного уравнения 1-го рода и о сходимости ряда.
7.2 Уравнение Вольтерра 1-го рода
Интегральное уравнение Вольтерра первого рода
Z x
K(x, s)ϕ(s)ds = f (x) (53)
a
можно свести к уравнению Вольтера второго рода. Дифференцируем (53), считая, что Kx0 (x, s)
и f 0 (x) существуют и непрерывны.
Z x
K(x, x)ϕ(x) + Kx0 (x, s)ϕ(s)ds = f 0 (x). (54)
a
Если K(x, x) 6= 0, мы можем поделить на него и получить уравнение Вольтерра второго рода:
Z x 0
Kx (x, s) f 0 (x)
ϕ(x) + ϕ(s)ds = . (55)
a K(x, x) K(x, x)
Если же K(x, x) = 0, мы по-прежнему имеем уравнение первого рода. В этом случае можно
попытаться еще раз продифференцировать (54) и, если Kx0 (x, x) 6= 0, мы получим уравнение
Вольтерра второго рода.
26
