ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Тем самым оказывается, что любое решение ЛДУ обладает свойством y(a) = y(b) = 0.
Поскольку a и b это совершенно посторонние числа по отношению к дифференциальному
оператору, такого быть не может.
4. Для любого собственного значения справедливо неравенство:
λ
n
> inf
q(x)
ρ(x)
≥ 0.
Следствие: все собственные значения задачи Штурма–Лиувилля положительны.
Пусть u
n
(x) — СФ, отвечающая СЗ λ
n
:
ˆ
Lu
n
(x) + λ
n
ρ(x)u
n
(x) = 0
Умножим это равенство на u
n
(x) и проинтегрируем от a до b.
Z
b
a
u
n
(x)
£
(pu
0
n
)
0
− qu
n
¤
dx + λ
n
= 0
Далее преобразуем, интегрируя по частям:
λ
n
=
Z
b
a
q(x)u
2
n
(x)dx −
Z
b
a
u
n
(x)(p(x)u
0
n
(x))
0
dx
=
Z
b
a
q(x)u
2
n
(x)dx +
Z
b
a
p(x)(u
0
n
)
2
dx >
Z
b
a
q(x)u
2
n
(x)dx =
=
Z
b
a
q(x)
ρ(x)
· ρ(x)u
2
n
(x)dx ≥
q(x
∗
)
ρ(x
∗
)
Z
b
a
ρ(x)u
2
n
(x)dx =
q(x
∗
)
ρ(x
∗
)
. (51)
5. Теорема Стеклова
Пусть f(x) – дважды непрерывно дифференцируемая функция, причем f(a) = f(b) =
0. Тогда f (x) разлагается в ряд по собственным функциям задачи Штурма–Лиувилля,
который сходится абсолютно и равномерно на [a, b].
Доказательство
Так как f(x) – дважды непрерывно дифференцируемая функция, то
ˆ
Lf = −h(x), где
h(x) – непрерывная функция, f(a) = f(b) = 0. Тогда
f(x) = −
Z
b
a
G(x, s)h(s)ds
Поскольку (см. выше) функция Грина просто связана с ядром интегрального уравнения,
получим:
F (x) ≡
p
ρ(x)f(x) =
Z
b
a
K(x, s)
h(s)
p
ρ(s)
ds
Стало быть F (x) представима через симметричное ядро и, согласно теореме Гильберта–
Шмидта, она разлагается в ряд по СФ ядра, причем ряд сходится абсолютно и равномер-
но. Отсюда утверждение теоремы.
25
Тем самым оказывается, что любое решение ЛДУ обладает свойством y(a) = y(b) = 0.
Поскольку a и b это совершенно посторонние числа по отношению к дифференциальному
оператору, такого быть не может.
4. Для любого собственного значения справедливо неравенство:
q(x)
λn > inf ≥ 0.
ρ(x)
Следствие: все собственные значения задачи Штурма–Лиувилля положительны.
Пусть un (x) — СФ, отвечающая СЗ λn :
L̂un (x) + λn ρ(x)un (x) = 0
Умножим это равенство на un (x) и проинтегрируем от a до b.
Z b £ ¤
un (x) (pu0n )0 − qun dx + λn = 0
a
Далее преобразуем, интегрируя по частям:
Z b Z b
λn = q(x)u2n (x)dx
un (x)(p(x)u0n (x))0 dx
−
a a
Z b Z b Z b
2 0 2
= q(x)un (x)dx + p(x)(un ) dx > q(x)u2n (x)dx =
a a a
Z b Z
q(x) 2 q(x∗ ) b 2 q(x∗ )
= · ρ(x)un (x)dx ≥ ρ(x)u n (x)dx = . (51)
a ρ(x) ρ(x∗ ) a ρ(x∗ )
5. Теорема Стеклова
Пусть f (x) – дважды непрерывно дифференцируемая функция, причем f (a) = f (b) =
0. Тогда f (x) разлагается в ряд по собственным функциям задачи Штурма–Лиувилля,
который сходится абсолютно и равномерно на [a, b].
Доказательство
Так как f (x) – дважды непрерывно дифференцируемая функция, то L̂f = −h(x), где
h(x) – непрерывная функция, f (a) = f (b) = 0. Тогда
Z b
f (x) = − G(x, s)h(s)ds
a
Поскольку (см. выше) функция Грина просто связана с ядром интегрального уравнения,
получим:
p Z b
h(s)
F (x) ≡ ρ(x)f (x) = K(x, s) p ds
a ρ(s)
Стало быть F (x) представима через симметричное ядро и, согласно теореме Гильберта–
Шмидта, она разлагается в ряд по СФ ядра, причем ряд сходится абсолютно и равномер-
но. Отсюда утверждение теоремы.
25
