Краевые задачи и интегральные уравнения для физиков. Калошин А.Е. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

5.2 Билинейное разложение ядра
Теорема
Пусть ϕ
1
(t) – СФ ядра K(t, s), отвечающая СЗ λ
1
. Тогда для ядра
K
1
(t, s) = K(t, s) −
ϕ
1
(t)ϕ
1
(s)
λ
1
ряд СФ и СЗ будет совпадать с (37) за исключением ϕ
1
, λ
1
.
Доказательство
ϕ = λ
ˆ
K
1
ϕ ⇒ ϕ = λ
ˆ
Kϕ
Покажем, что из первого равенства вытекает второе. Для этого рассмотрим скалярное
произведение
(ϕ
1
, ϕ) =
Z
b
a
ϕ
1
(t)ϕ(t)dt =
Z
b
a
dtϕ
1
(t)
·
λ
Z
b
a
K
1
(t, s)ϕ(s)ds
¸
=
=
Z
b
a
dtϕ
1
(t)
·
λ
Z
b
a
µ
K(t, s) −
ϕ
1
(t)ϕ
1
(s)
λ
1
ϕ(s)ds
¸
=
= λ
Z
b
a
ds
µ
Z
b
a
K(t, s )ϕ
1
(t)dt −
ϕ
1
(s)
λ
1
· 1
= λ
Z
b
a
ds
µ
ϕ
1
(s)
λ
1
−
ϕ
1
(s)
λ
1
= 0.
Таким образом, скалярное произведение равно нулю (ϕ, ϕ
1
) = 0. По условию ϕ = λ
ˆ
K
1
ϕ,
более подробно это есть
ϕ(t) = λ
Z
b
a
µ
K(t, s ) −
ϕ
1
(t)ϕ
1
(s)
λ
1
ϕ(s)ds.
Вспоминая, что (ϕ, ϕ
1
) = 0, имеем искомый результат: ϕ = λ
ˆ
K ϕ.
Наоборот, пусть ϕ
i
– произвольная СФ ядра K .
ϕ
i
(t) = λ
i
Z
b
a
K(t, s )ϕ
i
(s)ds = λ
i
Z
b
a
·
K
1
(t, s) +
ϕ
1
(t)ϕ
1
(s)
λ
1
¸
ϕ
i
(s)ds
Если i 6= 1, то ϕ
i
= λ
i
ˆ
K
1
ϕ
i
.
Если i = 1
ϕ
i
(t) = λ
i
Z
b
a
K(t, s )ϕ
i
(s)ds + ϕ
1
(t),
то есть ϕ
1
не является СФ ядра K
1
.
Теорема доказана
Продолжим этот процесс вычерпывания последовательности (37).
K
1
(t, s) = K(t, s) −
ϕ
1
(t)ϕ
1
(s)
λ
1
K
2
(t, s) = K
1
(t, s) −
ϕ
2
(t)ϕ
2
(s)
λ
2
= K(t, s) −
ϕ
1
(t)ϕ
1
(s)
λ
1
−
ϕ
2
(t)ϕ
2
(s)
λ
2
...
K
n
(t, s) = K(t, s ) −
n
X
i=1
ϕ
i
(t)ϕ
i
(s)
λ
i
.
19
5.2   Билинейное разложение ядра

Теорема
Пусть ϕ1 (t) – СФ ядра K(t, s), отвечающая СЗ λ1 . Тогда для ядра
                                            ϕ1 (t)ϕ1 (s)
                                 K1 (t, s) = K(t, s) −
                                                 λ1
ряд СФ и СЗ будет совпадать с (37) за исключением ϕ1 , λ1 .
Доказательство

                                ϕ = λK̂1 ϕ      ⇒       ϕ = λK̂ϕ
Покажем, что из первого равенства вытекает второе. Для этого рассмотрим скалярное
произведение
                    Z b                Z b         · Z b                   ¸
        (ϕ1 , ϕ) =      ϕ1 (t)ϕ(t)dt =     dtϕ1 (t) λ      K1 (t, s)ϕ(s)ds =
                      a                  a              a
          Z b           · Z bµ                          ¶         ¸
                                           ϕ1 (t)ϕ1 (s)
        =       dtϕ1 (t) λ       K(t, s) −                ϕ(s)ds =
             a               a                  λ1
              Z b µZ b                                ¶      Z b µ                   ¶
                                            ϕ1 (s)                     ϕ1 (s) ϕ1 (s)
        =λ        ds      K(t, s)ϕ1 (t)dt −        ·1 =λ          ds         −         = 0.
               a        a                     λ1               a        λ1     λ1
Таким образом, скалярное произведение равно нулю (ϕ, ϕ1 ) = 0. По условию ϕ = λ K̂1 ϕ,
более подробно это есть
                               Z bµ                        ¶
                                              ϕ1 (t)ϕ1 (s)
                      ϕ(t) = λ      K(t, s) −                ϕ(s)ds.
                                a                  λ1
Вспоминая, что (ϕ, ϕ1 ) = 0, имеем искомый результат: ϕ = λ K̂ ϕ.
Наоборот, пусть ϕi – произвольная СФ ядра K .
                      Z b                      Z b·                          ¸
                                                                ϕ1 (t)ϕ1 (s)
          ϕi (t) = λi     K(t, s)ϕi (s)ds = λi      K1 (t, s) +                ϕi (s)ds
                       a                        a                    λ1
Если i 6= 1, то ϕi = λi K̂1 ϕi .
Если i = 1                                  Z       b
                              ϕi (t) = λi               K(t, s)ϕi (s)ds + ϕ1 (t),
                                                a
то есть ϕ1 не является СФ ядра K1 .
Теорема доказана

   Продолжим этот процесс вычерпывания последовательности (37).
                                     ϕ1 (t)ϕ1 (s)
              K1 (t, s) = K(t, s) −
                                           λ1
                                       ϕ2 (t)ϕ2 (s)              ϕ1 (t)ϕ1 (s) ϕ2 (t)ϕ2 (s)
              K2 (t, s) = K1 (t, s) −                = K(t, s) −             −
                                            λ2                        λ1           λ2
              ...
                                     X n
                                           ϕi (t)ϕi (s)
              Kn (t, s) = K(t, s) −                     .
                                      i=1
                                                λi

                                                           19

Страницы