Краевые задачи и интегральные уравнения для физиков. Калошин А.Е. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

С другой стороны, таким же способом, как выше, можно получить оценку:
| ψ
n
(t) | ≤ | λ |
n
[M(t − a)]
n
n!
Таким образом, n-ый член последовательности может быть сделан сколь угодно малым.
Это означает, что он равен нулю: ψ
0
(t) = 0.
5 Интегральные уравнения Фредгольма с симметричными
ядрами.
Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма 2 рода с симметричным ядром.
ϕ(t) = λ
Z
b
a
K(t, s)ϕ(s)ds + f(t) K(t, s) = K(s, t)
Другое название – самосопряженные ядра
4
.
Напомним, что значения λ, при которых разрешимо однородное интегральное урав-
нение, называются характеристическими числами. При этом µ
i
= 1/λ
i
является соб-
ственным значением оператора
ˆ
K, а ϕ
i
(t) собственной функцией. Введем краткое обо-
значение для интеграла (скалярное произведение двух функций):
(ϕ
1
, ϕ
2
) =
Z
b
a
ϕ
1
(t)ϕ
2
(t)dt
Сформулируем основную теорему данного раздела.
Теорема
Интегральное уравнение с действительным симметричным непрерывным ядром име-
ет хотя бы одно характеристическое число.
Без доказательства.
5.1 Свойства собственных функций и собственных значений.
1. СФ, отвечающие различным СЗ ортогональны между собой.
ϕ
1
(t) = λ
1
Z
b
a
K(t, s)ϕ
1
(s)ds
ϕ
2
(t) = λ
2
Z
b
a
K(t, s)ϕ
2
(s)ds
Умножим первое равенство на λ
2
ϕ
2
(t) , второе – на λ
1
ϕ
1
(t), проинтегрируем по t и
вычтем одно из другого. Получим:
(λ
1
− λ
2
) (ϕ
1
, ϕ
2
) =
Z Z
dtds [ϕ
2
(t)K(t, s)ϕ
1
(s) − ϕ
1
(t)K(t, s)ϕ
2
(s)] = 0
4
В случае комплексных ядер самосопряженным называется ядро вида K(t, s) = K
∗
(s, t). Кстати, термино-
логия очень напоминает случай матриц, только роль матричных индексов играют непрерывные переменные
t, s.
17
С другой стороны, таким же способом, как выше, можно получить оценку:
                                             [M (t − a)]n
                                     | ψn (t) | ≤ | λ |n
                                                  n!
Таким образом, n-ый член последовательности может быть сделан сколь угодно малым.
Это означает, что он равен нулю: ψ0 (t) = 0.

5       Интегральные уравнения Фредгольма с симметричными
        ядрами.
Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма 2 рода с симметричным ядром.
                         Z b
                ϕ(t) = λ     K(t, s)ϕ(s)ds + f (t) K(t, s) = K(s, t)
                                 a

Другое название – самосопряженные ядра 4 .
   Напомним, что значения λ, при которых разрешимо однородное интегральное урав-
нение, называются характеристическими числами. При этом µi = 1/λi является соб-
ственным значением оператора K̂, а ϕi (t) собственной функцией. Введем краткое обо-
значение для интеграла (скалярное произведение двух функций):
                                          Z b
                             (ϕ1 , ϕ2 ) =     ϕ1 (t)ϕ2 (t)dt
                                                    a

Сформулируем основную теорему данного раздела.

Теорема
Интегральное уравнение с действительным симметричным непрерывным ядром име-
ет хотя бы одно характеристическое число.
Без доказательства.



5.1     Свойства собственных функций и собственных значений.

    1. СФ, отвечающие различным СЗ ортогональны между собой.
                                      Z b
                          ϕ1 (t) = λ1     K(t, s)ϕ1 (s)ds
                                       a
                                      Z b
                          ϕ2 (t) = λ2     K(t, s)ϕ2 (s)ds
                                                    a

        Умножим первое равенство на λ2 ϕ2 (t) , второе – на λ1 ϕ1 (t), проинтегрируем по t и
        вычтем одно из другого. Получим:
                                     Z Z
             (λ1 − λ2 ) (ϕ1 , ϕ2 ) =     dtds [ϕ2 (t)K(t, s)ϕ1 (s) − ϕ1 (t)K(t, s)ϕ2 (s)] = 0
    4
      В случае комплексных ядер самосопряженным называется ядро вида K(t, s) = K ∗ (s, t). Кстати, термино-
логия очень напоминает случай матриц, только роль матричных индексов играют непрерывные переменные
t, s.


                                                    17

Страницы