Краевые задачи и интегральные уравнения для физиков. Калошин А.Е. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

3.2 Метод последовательных приближений
Основой для метода последовательных приближений ( или метода итераций ) является
теорема о неподвижной точке оператора, которая нам уже встречалась при доказатель-
стве теоремы существования и единственности для дифференциальных уравнений
3
.
Напомним ее еще раз.
Теорема о неподвижной точке
Пусть в полном метрическом пространстве М задан оператор
ˆ
A со свойствами:
1)
ˆ
A x ∈ M ∀x ∈ M
2) Оператор является сжимающим, т.е.
ρ(
ˆ
Ax,
ˆ
Ay) ≤ α ρ(x, y), α < 1, ∀x, y ∈ M
Тогда существует одна и только одна неподвижная точка оператора
ˆ
A¯x = ¯x и ¯x мо-
жет быть получена методом последовательных приближений:
x
0
, x
1
=
ˆ
Ax
0
, ... , x
n
=
ˆ
Ax
n−1
, ...,
¯x = lim
n→∞
x
n
Теперь вернемся к уравнению Фредгольма 2 рода
ϕ(t) = λ
Z
b
a
K(t, s)ϕ(s)ds + f(t) ≡
ˆ
Aϕ
где ядро K(t, s) непрерывно в квадрате Q и функция f(t) непрерывна на [a, b].
Пусть C[a, b] – множество непрерывных на [a, b] функций. Введем в этом простран-
стве метрику (она нам уже встречалась)
ρ(x(t), y(t)) = max
t∈[a,b]
| x(t) − y(t) |
Очевидно, что оператор
ˆ
A переводит непрерывную на [a, b] функцию снова в непрерыв-
ную функцию.
Проверим свойство сжимаемости:
ρ(
ˆ
Aϕ
1
,
ˆ
Aϕ
2
) = max
t∈[a,b]
|
ˆ
Aϕ
1
−
ˆ
Aϕ
2
|= max | λ
Z
b
a
K(t, s)(ϕ
1
(s) − ϕ
2
(s))ds | ≤
≤ max | λ |
Z
b
a
| K(t, s) || ϕ
1
(s) − ϕ
2
(s) | ds ≤ | λ | · max | K | max | ϕ
1
− ϕ
2
| (b − a) ≤
≤ | λ | M(b − a) · ρ(ϕ
1
, ϕ
2
),
где мы обозначили M = max
t∈Q
| K(t, s) |. Таким образом, оператор является сжимаю-
щим, если
| λ | <
1
M(b − a)
Итак, теорема о неподвижной точке гарантирует нам, что
3
Там же при необходимости можно найти и некоторые термины, которые в данном разделе полагаются
известными.
11
3.2    Метод последовательных приближений
Основой для метода последовательных приближений ( или метода итераций ) является
теорема о неподвижной точке оператора, которая нам уже встречалась при доказатель-
стве теоремы существования и единственности для дифференциальных уравнений 3 .
Напомним ее еще раз.
 Теорема о неподвижной точке
Пусть в полном метрическом пространстве М задан оператор Â со свойствами:
1) Â x ∈ M     ∀x ∈ M
2) Оператор является сжимающим, т.е.

                   ρ(Âx, Ây) ≤ α ρ(x, y),          α < 1,               ∀x, y ∈ M

Тогда существует одна и только одна неподвижная точка оператора Âx̄ = x̄ и x̄ мо-
жет быть получена методом последовательных приближений:

                            x0 ,   x1 = Âx0 , ...       , xn = Âxn−1 , ...,
                                           x̄ = lim xn
                                                n→∞

      Теперь вернемся к уравнению Фредгольма 2 рода
                                   Z b
                          ϕ(t) = λ     K(t, s)ϕ(s)ds + f (t) ≡ Âϕ
                                       a

где ядро K(t, s) непрерывно в квадрате Q и функция f (t) непрерывна на [a, b].
   Пусть C[a, b] – множество непрерывных на [a, b] функций. Введем в этом простран-
стве метрику (она нам уже встречалась)

                               ρ(x(t), y(t)) = max | x(t) − y(t) |
                                               t∈[a,b]


Очевидно, что оператор Â переводит непрерывную на [a, b] функцию снова в непрерыв-
ную функцию.
  Проверим свойство сжимаемости:
                                                               Z b
             ρ(Âϕ1 , Âϕ2 ) = max | Âϕ1 − Âϕ2 |= max | λ        K(t, s)(ϕ1 (s) − ϕ2 (s))ds | ≤
                               t∈[a,b]                           a
            Z b
≤ max | λ |     | K(t, s) || ϕ1 (s) − ϕ2 (s) | ds ≤ | λ | · max | K | max | ϕ1 − ϕ2 | (b − a) ≤
               a
                                                                           ≤ | λ | M (b − a) · ρ(ϕ1 , ϕ2 ),

где мы обозначили M = maxt∈Q | K(t, s) |. Таким образом, оператор является сжимаю-
щим, если
                                              1
                                |λ|<
                                          M (b − a)
Итак, теорема о неподвижной точке гарантирует нам, что
  3
    Там же при необходимости можно найти и некоторые термины, которые в данном разделе полагаются
известными.



                                                11

Страницы