Краевые задачи и интегральные уравнения для физиков. Калошин А.Е. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

Умножая это уравнение на a
j
(t) и интегрируя по t, получим алгебраическую систему
уравнений для e
i
вида:
(E − λK
T
) ~e = ~g (23)
Отметим, что в сопряженном уравнении возникла транспонированная по отношению к
(22) матрица, определитель которой совпадает с D(λ). Теперь, в зависимости от значе-
ния параметра λ, возможны различные ситуации.
Если λ 6= λ
k
, тогда системы уравнений (22), (23) решаются однозначно
~c = (E − λK)
−1
~
f, ~e = (E − λK
T
)
−1
~g
Если λ = λ
k
, тогда соответствующая однородная алгебраическая система (22) (и сопря-
женная (23) ) имеет p штук независимых решений. Число p определяется рангом r
матрицы: p = n − r.
Ψ
(l)
.
(t) =
n
X
i=1
c
(l)
i
a
i
(t) l = 1...p
Общее решение однородного уравнения:
ϕ
o.o.
=
p
X
l=1
ψ
(l)
.
(t) A
(l)
, (24)
где A
(l)
– произвольные константы. Далее возникает вопрос, может ли при λ = λ
k
иметь
решение неоднородная алгебраическая система ?
A~c =
~
f
Ответ дает известная теорема линейной алгебры:
Теорема
Для того, чтобы алгебраическая система с равным нулю определителем имела ре-
шение, необходимо и достаточно, чтобы вектор
~
f был ортогонален всем решениям
однородного транспонированного уравнения A
T
~a = 0 .
Рассмотрим упомянутое выше условие ортогональности. Пусть транспонированное
однородное алгебраическое уравнение имеет набор решений ~a
(l)
, l = 1...p. Тогда решения
сопряженного ИУ имеют вид: Ψ
(l)
(t) = λ
P
a
(l)
i
b
i
(t).
0 = ~a
(l)
~
f =
n
X
i=1
a
(l)
i
f
i
=
X
i
a
(l)
i
Z
b
a
f(t)b
i
(t)dt
=
Z
b
a
f(t)(
X
a
(l)
i
b
i
(t) )dt =
Z
b
a
f(t)Ψ
(l)
(t)dt
В результате нашего рассмотрения мы можем сформулировать три теоремы Фред-
гольма для вырожденных ядер.
1 теорема Фредгольма
Для того, чтобы интегральное уравнение Фредгольма 2 рода имело единственное ре-
шение при любом f(t) , необходимо и достаточно, чтобы соответствующее однородное
9
Умножая это уравнение на aj (t) и интегрируя по t, получим алгебраическую систему
уравнений для ei вида:
                                  (E − λK T ) ~e = ~g                         (23)
Отметим, что в сопряженном уравнении возникла транспонированная по отношению к
(22) матрица, определитель которой совпадает с D(λ). Теперь, в зависимости от значе-
ния параметра λ, возможны различные ситуации.
Если λ 6= λk , тогда системы уравнений (22), (23) решаются однозначно

                        ~c = (E − λK)−1 f~,                             ~e = (E − λK T )−1~g

Если λ = λk , тогда соответствующая однородная алгебраическая система (22) (и сопря-
женная (23) ) имеет p штук независимых решений. Число p определяется рангом r
матрицы: p = n − r.
                                     n
                                     X
                             (l)        (l)
                            Ψ. (t) =   ci ai (t)  l = 1...p
                                                   i=1

Общее решение однородного уравнения:
                                                         p
                                                         X
                                             ϕo.o. =            ψ.(l) (t) A(l) ,                              (24)
                                                         l=1

где A(l) – произвольные константы. Далее возникает вопрос, может ли при λ = λk иметь
решение неоднородная алгебраическая система ?

                                                         A~c = f~

Ответ дает известная теорема линейной алгебры:
Теорема
Для того, чтобы алгебраическая система с равным нулю определителем имела ре-
шение, необходимо и достаточно, чтобы вектор f~ был ортогонален всем решениям
однородного транспонированного уравнения AT ~a = 0 .

   Рассмотрим упомянутое выше условие ортогональности. Пусть транспонированное
однородное алгебраическое уравнение имеет набор решений ~a(l) , l = 1...p. Тогда решения
                                        P (l)
сопряженного ИУ имеют вид: Ψ(l) (t) = λ   ai bi (t).
                                             n
                                             X                  X               Z         b
                                    (l) ~            (l)                  (l)
                     0 = ~a f =                    a i fi   =            ai                   f (t)bi (t)dt
                                             i=1                    i                 a
                        Z       b            X                            Z       b
                                                  (l)
                    =               f (t)(       ai bi (t)     )dt =                  f (t)Ψ(l) (t)dt
                            a                                                 a

   В результате нашего рассмотрения мы можем сформулировать три теоремы Фред-
гольма для вырожденных ядер.
1 теорема Фредгольма
Для того, чтобы интегральное уравнение Фредгольма 2 рода имело единственное ре-
шение при любом f(t) , необходимо и достаточно, чтобы соответствующее однородное

                                                                9

Страницы