Геодезия. Карабцова З.М. - 16 стр.

       Рис. 9 Определение расстояния с учетом кривизны Земли.
                                                a3 1 d 3
                                          ∆d = R =                                           (III.2)
                                                3 3 R2
       Приняв R=6371 км: d=10 км, по формуле (III.2) получим ∆b= 1 см и ∆b : d =1 : 1000000.
       Отсюда следует, что заменяя дугу АВ отрезком касательной АС, при расстояниях до 10 км
сделаем ошибку, меньшую 1 : 1 000000 длины этой дуги. Такая ошибка считается допустимой при
самых точных измерениях горизонтальных расстояний на земной поверхности. С увеличением же d
ошибка ∆d растет очень быстро, так как она пропорциональна кубу расстояний.
                     1
       Угол BAC =      α как угол, составленный касательной и хордовой. По малости этого угла
                     2
отрезок ∆h можно рассматривать как дугу радиуса d. Тогда
                                              1
                                          ∆h = α • d .
                                              2
       Подставив вместо α его выражение из формулы (III.1) найдем
                                                 1 d3
                                          ∆h =    •   .                                      (III.3)
                                                 2 R
       Придавая в формуле (III.3) различные числовые значения d, получим значения ∆h,
приведенные в табл.1.
       Таблица 1

      d (км)               0.5                   1                2                    3
      ∆h (см)              2                     8                31                   71
       Для инженерных целей высоты точек земной поверхности необходимо бывает определять с
относительно высокой точностью, допуская на 1 км ошибку не более 2 см. Отсюда заключаем, что
при измерении вертикальных расстояний нельзя пренебрегать кривизной Земли
даже при небольших горизонтальных расстояниях между точками.
       Обращаясь снова к рис.2, заметим, что в горизонтальной плоскости МN в пределах площади
круга диаметром 20 км отрезки аb, bc, cd... практически сохраняют ту же длину, что и на сфере. Углы
между этими отрезками от замены сферической поверхности плоскостью МN также практически не
изменят своей величины. Поэтому и вся фигура аbсdе как да сфере, так и на плоскости практически
будет изображаться одинаково. В этом смысле мы и говорим, что контуры местности при проек-
тировании их на плоскость в пределах площади круга диаметром 20 км изобразятся без искажений,
вызываемых кривизной Земли.


                                                                                                 18