Геодезия. Карабцова З.М. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

68
Рис.69. Аналитический способ определения площади.
Аналитический способ определения площадей. Если по результатам измерений на
плане (карте) определены координаты вершин замкнутого многоугольника, то площадь последнего
может быть определена аналитическим способом.
Пусть известны прямоугольные координаты вершин треугольника /—2—3 (рис. 33). Опустив
из его вершин перпендикуляры на ось Оу, площадь треугольника можно представить как алгебраи-
ческую сумму площадей трех трапеций: I - (1
’
—1—2—2'), II - (2'—2—3—3') и III - (1
/
- 1 - 3 - 3
/
), т. е.
S=S
1
+S
II
+S
III
.
Площади рассматриваемых трапеций определяются так:
S
I
= ½ (x
1
+ x
2
) (y
2
– y
1
);
S
II
= ½ (x
1
+ x
2
) (y
2
– y
1
);
S
III
= ½ (x
1
+ x
2
) (y
2
– y
1
).
Тогда удвоенная искомая площадь треугольника 1—2—3 будет равна:
2S = (x
1
+ x
2
) (y
2
– y
1
) + (x
2
+ x
3
) (y
3
– y
2
) - (x
1
+ x
з
) (У
З
—У
1
)-
После раскрытия скобок, соответствующей группировки членов уравнения и вынесения за
скобки общих знаменателей получим
2S =x
1
(y
2
– y
3
) + x
2
(y
3
– y
2
) + x
з
(У
1
—У
2
)-
или
2S =y
1
(x
3
– x
2
) + y
2
(x
1
– x
3
) + y
з
(X
2
—X
1
)-
В общем виде
()
∑
=
=
−+
−=
3
1
11
2
1
i
i
iii
yyxS
или
()
∑
=
=
−+
−=
3
1
11
.
2
1
i
i
iii
xxyS
Тогда для многоугольника с числом вершин п при их оцифровке по ходу часовой стрелки
формулы общего вида запишутся так:
()
∑
=
=
−+
−=
3
1
11
2
1
i
i
iii
yyxS
()
∑
=
=
−+
−=
3
1
11
,
2
1
i
i
iii
xxyS
где 1=7, 2, 3, ...., п.
Для контроля вычисления производят по обеим формулам. Если координаты точек получены
по результатам измерений на местности, то точность способа повышается, так как при этом на
точность вычисления площади влияют лишь погрешности угловых и линейных измерений на 
       Рис.69. Аналитический способ определения площади.
       Аналитический способ определения площадей. Если по результатам измерений на
плане (карте) определены координаты вершин замкнутого многоугольника, то площадь последнего
может быть определена аналитическим способом.
        Пусть известны прямоугольные координаты вершин треугольника /—2—3 (рис. 33). Опустив
из его вершин перпендикуляры на ось Оу, площадь треугольника можно представить как алгебраи-
ческую сумму площадей трех трапеций: I - (1’—1—2—2'), II - (2'—2—3—3') и III - (1/ - 1 - 3 - 3/), т. е.
S=S1+SII+SIII.
        Площади рассматриваемых трапеций определяются так:
       SI = ½ (x1 + x2) (y2 – y1);
       SII = ½ (x1 + x2) (y2 – y1);
       SIII = ½ (x1 + x2) (y2 – y1).
       Тогда удвоенная искомая площадь треугольника 1—2—3 будет равна:
       2S = (x1 + x2) (y2 – y1) + (x2 + x3) (y3 – y2) - (x1 + xз) (УЗ—У1)-
       После раскрытия скобок, соответствующей группировки членов уравнения и вынесения за
скобки общих знаменателей получим
       2S =x1 (y2 – y3) + x2 (y3 – y2) + xз (У1—У2)-
       или
       2S =y1 (x3 – x2) + y2 (x1 – x3) + yз (X2—X1)-
       В общем виде
                                           1 i =3
                                        S = ∑ xi ( y i +1 − y i −1 )
                                           2 i =1
или
                                             1 i =3
                                       S=      ∑ yi (xi +1 − xi−1 ).
                                             2 i =1
      Тогда для многоугольника с числом вершин п при их оцифровке по ходу часовой стрелки
формулы общего вида запишутся так:
                                          1 i =3
                                        S=  ∑ xi ( yi+1 − yi−1 )
                                          2 i =1
                                          1 i =3
                                       S = ∑ y i ( xi +1 − xi −1 ),
                                          2 i =1
где 1=7, 2, 3, ...., п.
       Для контроля вычисления производят по обеим формулам. Если координаты точек получены
по результатам измерений на местности, то точность способа повышается, так как при этом на
точность вычисления площади влияют лишь погрешности угловых и линейных измерений на



                                                                                                    68

Страницы