Составители:
Рубрика:
колебательных возбуждений (фононов) описание основано на априорном задании
некоторого вида пространственного затухания волновой функции в ограниченном
кристалле. Существенным вопросом как и в случае сверхрешетки является задание
граничных условий для атомных смещений на интерфейсе. В случае полярных
оптических фононов, которые связаны с существованием электрического поля,
необходимо использовать модель диэлектрического континуума.
Необходимо отметить
, что в случае нанокристалла доступно и микроскопическое
приближение, которое заключается в решении уравнения динамики для всех частиц,
составляющих микрокристалл. Данное приближение подчеркивает дискретную природу
кристаллической структуры и позволяет описать распространение как акустических, так и
оптических фононов.
Модель упругого континуума
Континуальное приближение является подходом феноменологическим, так как в его
рамках колебательная система рассматривается в виде упругого континуума. Так же как
если рассматривать собственные колебания в струне, которые являются
синусоидальными стоячими волнами, как и в плоской круглой пластине, где собственные
колебания описываются функциями Бесселя с двумя квантовыми числами, так и
колебание
сферической частицы можно аппроксимировать колебаниями упругой сферы с
тремя квантовыми числами.
Уравнение колебаний упругой сферы можно приближенно записать следующим образом:
2
2
2
2
r
U
C
t
U
∂
∂
=
∂
∂
ρ
.
Здесь u – смещение, ρ – плотность, С – упругая постоянная среды. Уравнение дает все
решения задачи. Их удобно представить в виде функций от скалярного потенциала Ф
sν
:
Ф
sν
=J
l
(kr)P
l
m
( cosθ) cosmφ, l=0,1,2,3…, m=–l…0…+1.
Здесь J
l
(kr)–сферические функции Бесселя, P
l
m
– полиномы Лежандра.
В результате получаются следующие виды решений:
1
L : grad | Φ
n,l,m
| ,
2
T
1
: rot [r/R Φ
n,l,m
] ,
3
T
2
: R/ξ rot [rot |r/R Φ
n,l,m
|]
4
S : grad [(r/R)
l
Y
l,m
],
где n, l, m – квантовые числа, R – радиус сферы.
Полное решение колебательного уравнения приводит к существованию трех типов
волн. Одно решение L соответствует продольному колебанию. Для таких волн поле
смещений является потенциальным, т.е. для вектора смещения div
u
LA
≠0. Два других
решения T
1
и T
2
описывают поперечные волны. Для них divu
TA
=0, т.е поле поперечных
волн является вихревым. Решение S соответствует поверхностным колебаниям, в
которых амплитуда движений убывает по мере приближения к центру сферы. Решение
задачи представляется через сферические функции Y
l
n
, где l, n – квантовые числа.
Некоторые из типов продольных волн с квантовыми числами n и l показаны на рис. 28.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- …
- следующая ›
- последняя »
