Основы радиоэлектроники и связи. Часть I. Основы оптимального радиоприёма. Карпов И.Г - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

1.2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ СТАТИСТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
1.2.1. Условные плотности вероятности суммы сигнала и шума
В задаче обнаружения подлежащий наблюдению случайный процесс удобно записывать в виде
суммы:
(
)
(
)
(
)
tntSt
+
λ
=
ξ
, (1.1)
где λ – случайная величина, равная "0", если сигнал отсутствует, и
равная "1", если сигнал присутствует; S(t) – детерминированный сигнал;
n(t) – стационарный гауссовский шум с 〈 n(t) 〉 = 0, 〈 n
2
(t) 〉 =
2
n
σ .
Заметим, что процесс ξ(t), определяемый выражением (1.1), является случайным как из-за слу-
чайности шума n(t), так и из-за случайности величины λ. Последнее обстоятельство приводит к тому,
что процесс ξ(t) характеризуется условными плотностями вероятностей: одной при условии
,
что λ = 0,
а другой – при условии, что λ = 1.
Если λ = 0, то равенство (1.1) примет вид
(
)
(
)
tnt
=
ξ
. (1.2)
В этом случае условная одномерная плотность вероятности определится в соответствии с фор-
мулой для гауссовского распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией
2
n
σ
вы-
ражением
()()
σ
−
πσ
===λ
ξ
2
2
2
exp
2
1
0|
n
n
n
x
xpxp
, (1.3)
где индекс n в p
n
(х) означает, что рассматривается плотность вероятности при условии, что λ = 0, ко-
гда действует только шум.
Если λ = 1, то равенство (1.1) примет вид
(
)
(
)
(
)
tntSt
+
=
ξ
. (1.4)
При детерминированном сигнале процесс (1.4) будет иметь математическое ожидание, равное
сигналу
(
)
(
)
(
)
(
)()()
tStntStntSt =〉
〈
+
〉
〈
=
〉
+
〈
=
〉
ξ
〈
. (1.5)
В соответствии с этим условная плотность вероятности процесса (1.4) будет определяться выра-
жением, отличающимся от (1.3) только математическим ожиданием
()()
()
[]
σ
−
−
πσ
===λ
ξ
2
2
2
exp
2
1
1|
n
n
sn
tSx
xpxp
. (1.6)
Найдем условные n-мерные плотности вероятности в предположении, что процесс ξ(t) может на-
блюдаться на интервале времени [0,Т ], а интервал времени корреляции шума равен τ
kn
. Если прово-
дить сечение процесса через интервал
kn
t
τ
≥∆ , то все сечения
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
nn
tttt ξξξ
=
ξ
ξ
ξ
=
ξ
...,,,...,,,
1121
(1.7)
будут некоррелированными, а так как процесс ξ(t) гауссовский –независимыми. При этом число неза-
висимых сечений ограничивается величиной

Страницы