Математика. Картечина Н.В - 4 стр.

                  Аналитическая геометрия и линейная алгебра
                  Задача 1. Написать разложение вектора х по векторам p, q, r:
                  x=(5,6,4), p=(1,2,1), q=(-1,1,1), r=(1,1, 2).

               Решение. Нужно представить вектор х в виде комбинации
         x=x1p+x2q+ x3r. Где координаты x1, х2, x3 вектора х нужно найти. Запишем
         это равенство в векторной форме
                       1        − 1     1  5
                                           
                   x1  2  + x2  1  + x3  1  =  6  . Получили систему линейных уравнений
                       1       1         2  4
                                           

                    x1 − x2 + x3 = 5,
                   
                   2 x1 + x2 + x3 = 6,      Определитель этой системы равен
                    x + x + 2 x = 4.
                    1 2         3



                       1 −1 1
                   ∆ = 2 1 1 = 1 ⋅1 ⋅ 2 + 2 ⋅1 ⋅ 1 − 1 ⋅ 1 ⋅ 1 − 1 ⋅ 1 ⋅ 1 − 1 ⋅ 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2 ⋅ 2 = 5 . Так как он от-
                       1 1 2
         личен от нуля, то векторы p,q,r – линейно независимы и могут служить ба-
         зисом линейного трехмерного пространства. По теореме Крамера система
         имеет единственное решение. Находим определители
                        5 −1 1
                   ∆1 = 6 1 1 = 5 ⋅ 1 ⋅ 2 − 4 ⋅1 ⋅1 + 6 ⋅ 1 ⋅ 1 − 4 ⋅ 1 ⋅ 1 + 6 ⋅ 1 ⋅ 2 − 5 ⋅ 1 ⋅ 1 = 15 ,
                        4 1 2
                         1 5 1
                   ∆ 2 = 2 6 1 = 1 ⋅ 6 ⋅ 2 + 5 ⋅ 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 4 ⋅ 1 − 6 ⋅ 1 ⋅ 1 − 2 ⋅ 5 ⋅ 2 − 1 ⋅ 4 ⋅ 1 = −5 ,
                         1 4 2
               1 −1 5
          ∆3 = 2 1 6 = 1 ⋅ 1 ⋅ 4 − 1 ⋅ 6 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2 ⋅ 5 − 1 ⋅1 ⋅ 5 + 1 ⋅ 2 ⋅ 1 − 1 ⋅ 1 ⋅ 6 = 5 .
               1 1 4
                                                      ∆1 15                      ∆2 − 5                         ∆3 5
                  Таким образом, x1 =                   =   = 3,          x2 =     =    = −1 ,          x3 =      = =1 и
                                                      ∆   5                      ∆   5                          ∆ 5
         можно записать x=3p – q + r.
             Задача 2. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на
                                                                                             π
         векторах a и b:             a=2p-5q, b=4p+q, p = 1, q = 2, (a, b ) = .
                                                                                             6
                  Решение. Площадь параллелограмма будет равна a × b . По свойст-
         вам         векторного     произведения      a×b=2(p×q)–5(q×p)=7(p×q).
                                        π            1
         S=7 p × q = p ⋅ q ⋅ sin          = 7 ⋅1⋅ 2 ⋅ = 7 .
                                        6            2


         4
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com