Математика. Картечина Н.В - 5 стр.

               Задача 3. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках А1, А2,
         А3, А4, и его высоту, опущенную из вершины А4 на грань А1 А2 А3.
               А1(2, 1, 1), А2(-1, 8, 1), А3(3, -2, 2), А4(-1, 2,-5).
               Решение. Составим три вектора
               А1 А2= (-3, 7, 0), А1 А3= (1, -3, 1), А1 А4= (-3, 1, -6). Вычислим
         смешанное произведение этих векторов
                                       −3 7  0
                [А1 А2, А1 А3, А1 А4]= 1 − 3 1 = - 30.
                                       −3 1 −6
                                             1
                Объем тетраэдра V= [А1 А2, А1 А3, А1 А4]=30/6=5. Для нахож-
                                             6
         дения высоты вычислим векторное произведение

                                               i j k
                                                         7 0     −3 0     −3 7
                А1 А2 × А1 А3=                −3 7 0 = i      −j       +k            =-42i –
                                                         1 −6    −3 −6    −3 1
                                              −3 1 −6
         18j+18k.
              Теперь можно найти площадь S треугольника А1А2А3
                   1                         1                   1
                S= − 42i − 18 j + 18k =        422 + 182 + 182 =   2412 = 603 . Так как объем
                   2                         2                   2
         тетраэдра
                      1             3V   15
                V =     Sh , то h =    =     .
                      3              S   603

                Задача 4. Решить систему линейных уравнений
                 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 0,
                
                 3 x1 + 2 x2 + x3 − 3x5 = 0,
                2 x + 4 x + 3 x + 2 x − x = 0.
                 1       2     3     4   5

               Решение. Вычтем из второго уравнения утроенное первое и из
         третьего уравнения удвоенное первое, получим систему

                 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 0,
                
                − x2 − 2 x3 − 3 x4 − 6 x5 = 0,
                     2 x2 + x3 − 3x5 = 0.
                
                Прибавим к третьему уравнению удвоенное второе
                        x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 0,
                       
                       − x2 − 2 x3 − 3x4 − 6 x5 = 0,
                        − 3 x − 6 x − 15 x = 0.
                              3      4      5

                Из последнего уравнения находим х3
                х3 = -2 х4 - 5 х5. Подставляем это выражение во второе уравнение



                                                                                           5
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com