Математика. Картечина Н.В - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

6
х
2
+4 х
4
+ 10 х
5
-3 х
4
- 6 х
5
=0 или х
2
= х
4
+4 х
5
. Подставляя выраже-
ния для х
2
и х
3
в первое уравнение, получим х
1
+ х
4
+ 4х
5
-2 х
4
- 5 х
5
+ х
4
+
х
5
=0 или х
1
= 0.
Переменные х
4
и х
5
являются свободными и могут принимать любые
значения.
Задача 5. Для заданных матриц А и В проверить, являются ли они
невырожденными, и если да, то убедиться, что верно равенство:
(АВ)
-1
= В
-1
А
-1
:
;
213
1
21
= ca
b
A .
11
31
112
−=
d
eB , где a=3, b=2, c=1, d=4, e=5.
Решение. Подставляя значения параметров a, b, c, d, e, получаем
матрицы
;
213
113
221
=A .
114
351
112
−=B Так как detA= −5, detB= − 4, то матрицы
А и В невырожденные и существуют обратные.
Находим алгебраические дополнения для А
А
11
=(-1)
1+1
21
11
=1; А
21
=(-1)
2+1
21
22
=-2; А
31
=(-1)
3+1
11
22
=0;
А
12
=(-1)
1+2
23
13
=-3; А
22
=(-1)
2+2
23
21
= -4; А
32
=(-1)
3+2
13
21
=5;
А
13
=(-1)
1+3
13
13
= 0; А
23
=(-1)
2+3
13
21
=5; А
33
=(-1)
3+3
13
21
=-5.
Таким образом,
−
−−
−
−=
−
550
543
021
5
1
)(
1
A и выполняется равенство
Находим алгебраические дополнения для В
В
11
=(-1)
1+1
11
35
=2; В
21
=(-1)
2+1
11
11
=0; В
31
=(-1)
3+1
35
11
=-2;
В
12
=(-1)
1+2
14
31−
=13; В
22
=(-1)
2+2
14
12
= -2; В
32
=(-1)
3+2
31
12
−
=-7;
В
13
=(-1)
1+3
14
51−
= -21; В
23
=(-1)
2+3
14
22
=2; В
33
=(-1)
3+3
51
12
−
=11.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
               х2 +4 х4 + 10 х5 -3 х4 - 6 х5=0 или х2 = х4 +4 х5. Подставляя выраже-
         ния для х2 и х3 в первое уравнение, получим х1 + х4 + 4х5 -2 х4 - 5 х5+ х4 +
         х5=0 или х1= 0.
               Переменные х4 и х5 являются свободными и могут принимать любые
         значения.
               Задача 5. Для заданных матриц А и В проверить, являются ли они
         невырожденными, и если да, то убедиться, что верно равенство:
               (АВ)-1= В-1А-1:
                      1 b 2        2 1 1
                                           
                 A =  a 1 c ; B =  − 1 e 3 . , где a=3, b=2, c=1, d=4, e=5.
                      3 1 2        d 1 1
                                           
              Решение. Подставляя значения параметров a, b, c, d, e, получаем
         матрицы

                    1 2 2         2 1 1
                                          
                A =  3 1 1 ; B =  − 1 5 3 . Так как detA= −5, detB= − 4, то матрицы
                    3 1 2         4 1 1
                                          
         А и В невырожденные и существуют обратные.
               Находим алгебраические дополнения для А
                            1   1                  2     2                  2 2
                А11=(-1)1+1       =1; А21=(-1)2+1          =-2; А31=(-1)3+1     =0;
                            1   2                  1     2                  1 1
                            3   1                   1     2                   1 2
                А12=(-1)1+2       =-3; А22=(-1)2+2          = -4; А32=(-1)3+2     =5;
                            3   2                    3    2                   3 1
                            3   1                  1     2                  1 2
                А13=(-1)1+3       = 0; А23=(-1)2+3         =5; А33=(-1)3+3      =-5.
                            3   1                  3     1                  3 1
                                                 1 −2 0 
                                               1             
                Таким образом, ( A)    −1
                                            = −  − 3 − 4 5  и выполняется равенство
                                               5
                                                 0    5 − 5 
                Находим алгебраические дополнения для В
                            5 3                 1 1                 1 1
                В11=(-1)1+1     =2; В21=(-1)2+1     =0; В31=(-1)3+1     =-2;
                            1 1                 1 1                 5 3
                            −1 3                  2 1                   2 1
                В12=(-1)1+2      =13; В22=(-1)2+2     = -2; В32=(-1)3+2      =-7;
                             4 1                  4 1                   −1 3
                            −1 5                    2 2                  2 1
                В13=(-1)1+3      = -21; В23=(-1)2+3     =2; В33=(-1)3+3      =11.
                             4 1                    4 1                 −1 5




         6
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы