Ряды. Картечина Н.В - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

37
Решение
Переведем 18
0
=
180
18
⋅
π
=0,3142.
Разложим Cos18
0
=Cos0,3142 в ряд:
...
)!n2(
х
)1(...
!4
х
!2
х
1Cosx
n2
n
42
+−+−+−=
...
!
6
3142,0
!
4
3142,0
!
2
3142,0
13142,0Cos
642
+−+−=
Определим погрешность вычисления. Для знакочередующегося ряда
погрешность вычисления не превышает первого из отброшенных членов.
Вычислим значения членов ряда.
0494,0
!
2
3142,0
2
≈
- при отбрасывании второго слагаемого допуска-
ется погрешность выше требуемой.
.00041,0
!
4
3142,0
4
≈
- при отбрасывании третьего слагаемого допус-
кается погрешность ниже требуемой.
Очевидно, что в разложении достаточно оставить два члена ряда.
9506,00494,01
!
2
3142,0
13142,0Cos
2
=−=−≈
.
Пример 2. Вычислить
dx
x
Sinx
2,0
0
∫
.
Решение
Это «неберущийся» интеграл. Для вычисления воспользуемся раз-
ложением в ряд функции Sinx, полученный ряд почленно разделим на х и
проинтегрируем.
...
)!1n2(
х
)1(...
!5
х
!3
х
xSinx
1n2
1n
53
+
−
−+−+−=
−
−
...
5
х
3
х
1
х
Sinx
42
−+−=
...
600
00032.0
18
008.0
2.0...
!
5
5
2.0
!
3
3
2.0
2.0
0
2.0
...
!55
x
!33
x
xdx...
!5
х
!3
х
1dx
х
Sinx
53
53
2.0
0
42
2,0
0
−+−=−
⋅
+
⋅
−=
=
−
⋅
+
⋅
−=
−+−=
∫∫
Учитывая, что погрешность вычисления не превосходит величины
первого из отброшенных членов, а третий член ряда равен
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                                         Решение
                Переведем 180= π ⋅ 18 =0,3142.
                               180
                               0
                Разложим Cos18 =Cos0,3142 в ряд:
                           х2 х4              n х
                                                  2n
                Cosx = 1 −   +   − ... + (−1)          + ...
                           2! 4!                (2n )!
                                0,31422 0,31424 0,31426
                Cos0,3142 = 1 −        +       −        + ...
                                   2!      4!      6!
              Определим погрешность вычисления. Для знакочередующегося ряда
         погрешность вычисления не превышает первого из отброшенных членов.
         Вычислим значения членов ряда.
                0,3142 2
                         ≈ 0,0494 - при отбрасывании второго слагаемого допуска-
                   2!
         ется погрешность выше требуемой.
               0,31424
                       ≈ 0,00041. - при отбрасывании третьего слагаемого допус-
                  4!
         кается погрешность ниже требуемой.
               Очевидно, что в разложении достаточно оставить два члена ряда.
                                             0,31422
                                     Cos0,3142 ≈ 1 − = 1 − 0,0494 = 0,9506 .
                                                  2!
                                             0, 2
                          Пример 2. Вычислить Sinx dx .
                                              ∫ x
                                              0


                                            Решение
              Это «неберущийся» интеграл. Для вычисления воспользуемся раз-
         ложением в ряд функции Sinx, полученный ряд почленно разделим на х и
         проинтегрируем.
                         х3 х5                    х 2n −1
              Sinx = x −   +   − ... + (−1) n −1           + ...
                         3! 5!                   (2n − 1)!
                                                  Sinx     х2 х4
                                                       =1−   +   − ...
                                                    х      3! 5!
                   0, 2            0.2       2     4                       3         5          0.2
                          Sinx              х     х                        x         x
                    ∫          dx = ∫ 1 −     +     − ... dx =  x −         +         − ...     =
                    0       х       0      3 !   5 !                   3 ⋅ 3 !   5 ⋅ 5 !         0
                         0.23 0.25                   0.008 0.00032
                 = 0.2 −       +       − ... = 0.2 −      +        − ...
                         3 ⋅ 3! 5 ⋅ 5!                18     600
              Учитывая, что погрешность вычисления не превосходит величины
         первого из отброшенных членов, а третий член ряда равен



                                                                                                            37
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы