Ряды. Картечина Н.В - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

35
Итак,
Sin
2
x=
2
1
(1- Cos2x)=
...x
)!n2(
2
)1(...x
45
2
x
3
1
x
n2
1n2
1n642
+−+−+−
−
−
Пример 7. Разложить в ряд по степеням х функцию
2
)1х(
3х
+
−
.
Решение
Преобразуем данную функцию в произведение:
2
)1х(
3х
+
−
=(х-3)(х+1)
-2
;
рассматриваем двучлен х-3 как степенной ряд, сходящийся при любом
значении х; пользуясь биномиальным рядом, полагая в нем m= - 2, разла-
гаем в ряд
(х+1)
-2
=1-2x+
+−++−
−
−
1n1n32
nx)1(...х4x3
…
Умножая почленно этот ряд на х-3, получим искомый ряд для дан-
ной функции:
2
)1х(
3х
+
−
= -3+7х-11х
2
+…+(-1)
n-1
(1- 4n)x
n-1
+… ,
который сходится к данной функции в интервале ( - 1, 1), поскольку в этом
интервале биномиальный ряд сходится к функции (1+х)
-2
.
Пример 8.
Разложить в ряд по степеням х функцию ln(1+3x+2x
2
).
Решение
Преобразуем данную функцию:
ln(1+3x+2x
2
)= ln(1+x)(1+2x)= ln(1+x)+ ln(1+2x).
Пишем ряды Маклорена для полученных слагаемых:
∑
∞
=
−
−=+
1
n
n
1n
n
х
)1()1xln(
, - 1<x≤1,
∑
∞
=
−
−=+
1n
nn
1n
n
х2
)1()1x2ln(
,
2
1
− <x≤
2
1
.
(второй ряд получен из первого путем замены х на 2х) и складывая их по-
членно, имеем:
ln(1+3x+2x
2
)=
∑
∞
=
−
+−
1
n
n
n1n
n
х
)21()1(
,
2
1
−
<x≤
2
1
.
ЗАДАЧИ
В № 101 - 110 разложить заданные функции в ряд Тейлора по
степеням (х-а) и указать интервалы сходимости полученных рядов:
№ 101. е
х
при а= - 2
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                Итак,
                       1                                                   2 n −1
                Sin2x= (1- Cos2x)= x 2 − 1 x 4 + 2 x 6 − ... + (−1) n −1 2        x 2 n + ...
                       2                 3      45                       (2n )!
                      Пример 7. Разложить в ряд по степеням х функцию х − 3 .
                                                                                     ( х + 1) 2
                                           Решение
               Преобразуем данную функцию в произведение:
                                         х − 3 =(х-3)(х+1)-2;
                                       ( х + 1) 2
         рассматриваем двучлен х-3 как степенной ряд, сходящийся при любом
         значении х; пользуясь биномиальным рядом, полагая в нем m= - 2, разла-
         гаем в ряд
                         (х+1)-2=1-2x+ 3x 2 − 4 х 3 + ... + ( −1) n −1 nx n −1 + …
               Умножая почленно этот ряд на х-3, получим искомый ряд для дан-
         ной функции:
                            х − 3 = -3+7х-11х2+…+(-1)n-1(1- 4n)xn-1+… ,
                          ( х + 1) 2
         который сходится к данной функции в интервале ( - 1, 1), поскольку в этом
         интервале биномиальный ряд сходится к функции (1+х)-2.
                    Пример 8.
              Разложить в ряд по степеням х функцию ln(1+3x+2x2).

                                                Решение
                Преобразуем данную функцию:
                             ln(1+3x+2x2)= ln(1+x)(1+2x)= ln(1+x)+ ln(1+2x).
                Пишем ряды Маклорена для полученных слагаемых:
                             ∞             n
                                    n −1 х , - 1

Страницы