Ряды. Картечина Н.В - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

34
...nx)1(...х5х4х3х21
)х1(
1
1n1n432
2
+−+−+−+−=
+
−−
∑
∞
=
−−
−=
+
1n
1n1n
2
nx)1(
)х1(
1
.
Пример 5. Разложить в ряд по степеням х функцию (1+х)е
х
.
Решение
Рассматриваем двучлен (1+х) как степенной ряд, у которого коэффи-
циенты всех членов, кроме двух первых, равны нулю и который сходится
на всей числовой оси. Умножая почленно этот ряд на ряд Маклорена для
функции е
х
, который также сходится на всей числовой оси, получим иско-
мое разложение в ряд данной функции:
...
!
n
х)1n(
...
!
3
х4
!
2
х3
!
1
х2
1
...
!n
х
...
!3
х
!2
х
!1
х
1)х1(е)х1(
n32
n32
х
+
+
+++++=
=
+++++++=+
которое справедливо, т. е. сходится к данной функции, при всех зна-
чениях х.
Пример 6. Разложить в ряд по степеням х функцию Sin
2
x.
Решение
1-ый способ. Ряд для Sin
2
x можно получить умножением самого на
себя известного ряда Маклорена для Sinx:
...x
)!n2(
2
)1(...x
45
2
x
3
1
x
...
)!1n2(
х
)1(...
!5
х
!3
х
x
...
)!1n2(
х
)1(...
!5
х
!3
х
xSinxSinxxSin
n2
1n2
1n642
1n2
1n
53
1n2
1n
53
2
+−+−+−=
=
+
−
−+−+−×
×
+
−
−+−+−=⋅=
−
−
−
−
−
−
Полученный ряд, как и для Sinx, сходится при всех значениях х.
2-ой способ. Воспользуемся формулой Sin
2
x=
2
1
(1- Cos2x) и рядом
для
...
)!n2(
х
)1(...
!4
х
!2
х
1Cosx
n2
n
42
+−+−+−=
.
Заменяем здесь х на 2х:
...
)!n2(
х2
)1(...
!4
х2
!2
х2
1x2Cos
n2n2
n
4422
+−+−+−=
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                             1
                                    = 1 − 2х + 3х 2 − 4 х 3 + 5х 4 − ... + (−1) n −1 nx n −1 + ...
                         (1 + х ) 2

                                             1         ∞
                                                    = ∑ (−1) n −1 nx n −1 .
                                         (1 + х ) 2
                                                      n =1
                       Пример 5. Разложить в ряд по степеням х функцию (1+х)ех.

                                               Решение
               Рассматриваем двучлен (1+х) как степенной ряд, у которого коэффи-
         циенты всех членов, кроме двух первых, равны нулю и который сходится
         на всей числовой оси. Умножая почленно этот ряд на ряд Маклорена для
         функции ех, который также сходится на всей числовой оси, получим иско-
         мое разложение в ряд данной функции:
                                             х х2 х3          х n        
                       (1 + х )е = (1 + х )1 + +
                                х
                                                     + + ... +     + ...  =
                                             1! 2! 3!         n!         
                           2 х 3х 2 4 х 3         ( n + 1) х n
                      = 1+    +    +      + ... +              + ...
                           1!   2!     3!              n!
              которое справедливо, т. е. сходится к данной функции, при всех зна-
         чениях х.
                   Пример 6. Разложить в ряд по степеням х функцию Sin2x.

                                         Решение
                                                     2
               1-ый способ. Ряд для Sin x можно получить умножением самого на
         себя известного ряда Маклорена для Sinx:
                                                      х3 х5                           х 2 n −1       
                     Sin 2 x = Sinx ⋅ Sinx =  x −         +     − ... + ( −1) n −1            + ... ×
                                                       3! 5!                        ( 2n − 1)!       
                             х3 х5                         х 2n −1        
                     ×  x −   +      − ... + ( −1) n −1            + ... =
                             3! 5!                       ( 2n − 1)!       
                            1     2                       2 2n −1 2n
                     = x 2 − x 4 + x 6 − ... + ( −1) n −1        x + ...
                            3     45                      (2n )!
                Полученный ряд, как и для Sinx, сходится при всех значениях х.
                                                                                       1
                2-ой способ. Воспользуемся формулой Sin2x= (1- Cos2x) и рядом
                                                                                       2
         для
                                        х2 х4               n х
                                                                 2n
                             Cosx = 1 −    +   − ... + (−1)           + ... .
                                         2! 4!                (2n )!
                Заменяем здесь х на 2х:
                                     22 х 2 24 х 4                  2 n 2n
                                                                n 2 х
                        Cos 2x = 1 −       +       − ... + (−1)               + ...
                                       2!     4!                    ( 2n )!

         34
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы