Ряды. Картечина Н.В - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

32
...х...хххх1
х
1
1
1n432
+++++++=
−
−
напишем (-х) вместо х:
...)х(...)х()х()х()х(1
)х(1
1
1n432
+−++−+−+−+−+=
−−
−
Таким образом, получено следующее разложение данной функции в
степенной ряд:
...х)1(...хххх1
х
1
1
1n1n432
+−+−+−+−=
+
−−
Этот ряд сходится при |x|<1 (как геометрическая прогрессия со зна-
менателем q= - x).
Пример 2. Разложить в ряд по степеням (х+2) функцию
х
1
1
−
.
Решение
Преобразуем данную функцию следующим образом:
()()
3
2х
3
2х
1
1
3
1
13
1
)2х(3
1
2)2х(1
1
х1
1
++
−
⋅=
−⋅
=
+−
=
++−
=
−
Введем новую переменную р, полагая х+2=р. Воспользуемся разло-
жением
...х...хххх1
х
1
1
1n432
+++++++=
−
−
,
записывая в нем
3
р
вместо х:
()
()
+
++
+
++⋅=
=
−
⋅=
−
⋅=
−
=
−
+
...
3
p
...
3
p
3
p
3
p
1
3
1
1
1
3
1
1
1
3
1
x1
1
)x(f
1n32
3
p
3
2x
или
+
+
++
+
+
+
+
+
+⋅=
−
−
...
3
2x
...
3
2x
3
2x
3
2x
1
3
1
x1
1
1n32
, т. е.
...
3
)2x(
...
3
)2x(
3
)2x(
3
2x
3
1
x1
1
n
1n
4
3
3
2
2
+
+
++
+
+
+
+
+
+=
−
.
Ряд сходится при
3
p
<1, т. е. |p|<3, или при
- 3<p<3
- 3<x+2<3
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                              1
                                   = 1 + х + х 2 + х 3 + х 4 + ... + х n −1 + ...
                            1− х
               напишем (-х) вместо х:
                      1
                            = 1 + (− х ) + (− х ) 2 + ( − х )3 + (− х ) 4 + ... + ( − х ) n −1 + ...
                  1 − (− х)
               Таким образом, получено следующее разложение данной функции в
         степенной ряд:
                          1
                              = 1 − х + х 2 − х 3 + х 4 − ... + (−1) n −1 х n −1 + ...
                         1+ х
              Этот ряд сходится при |x|<1 (как геометрическая прогрессия со зна-
         менателем q= - x).
                       Пример 2. Разложить в ряд по степеням (х+2) функцию 1 .
                                                                                          1− х

                                       Решение
                Преобразуем данную функцию следующим образом:
                    1           1              1            1         1   1
                       =                =            =              =   ⋅
                                                                  (        )
                  1 − х 1 − ( х + 2) + 2 3 − ( х + 2) 3 ⋅ 1 − х +3 2 3 1 − х +3 2 (      )
              Введем новую переменную р, полагая х+2=р. Воспользуемся разло-
         жением
                           1
                               = 1 + х + х 2 + х 3 + х 4 + ... + х n −1 + ... ,
                          1− х
                        р
         записывая в нем вместо х:
                             3
                                             1   1   1      1 1
                                  f (x) =       = ⋅
                                                     (
                                            1− x 3 1− 3
                                                     x + 2
                                                           = ⋅
                                                              )
                                                            3 1− p
                                                                 3
                                                                   =
                                                                      ( )
                                                                    n −1
                                   1  p p p                         
                                                2     3
                                                                p
                                  = ⋅ 1 + +   +   + ... +   + ...
                                   3  3  3   3            3      
         или
                                                                        n −1
                      1  x + 2  x + 2  x + 2                               
                                          2          3
                  1                                           x + 2
                     = ⋅ 1 +   +       +         + ... +          + ... , т. е.
                1 − x 3     3    3   3                   3              
                  1   1 x + 2 ( x + 2) 2 ( x + 2)3         (x + 2) n −1
                     = + 2 +            +          + ... +              + ... .
                1− x 3      3     33
                                             3 4
                                                               3 n

                                       p
                Ряд сходится при         <1, т. е. |p|<3, или при
                                       3
                                                   - 3

Страницы