Ряды. Картечина Н.В - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

31
Интервалом сходимости является интервал (-4,0).
Исследуем поведение ряда на концах промежутка [-4,0] .
Подставляя в ряд х= - 4, затем х=0 получим числовые ряды:
1-1+1-1+… и 1+1+1+1+…,
которые расходятся, так как у них не выполняется необходимое ус-
ловие сходимости ряда
0alim
n
n
=
∞→
.
Следовательно, в интервале ( - 4, 0) полученный ряд сходится имен-
но к данной функции.
Использование табличных разложений
Справедливы разложения элементарных функций в ряд Макло-
рена:
1.
...
!
n
х
...
!
3
х
!
2
х
!
1
х
1е
n32
х
++++++=
,
)
,
(
х
+∞
−∞
2.
...
)!1n2(
х
)1(...
!5
х
!3
х
xSinx
1n2
1n
53
+
−
−+−+−=
−
−
,
)
,
(
х
+∞
−∞
3.
...
)!n2(
х
)1(...
!4
х
!2
х
1Cosx
n2
n
42
+−+−+−=
,
)
,
(
х
+∞
−∞
4.
...
1
n
2
х
...
5
х
3
х
xArctgx
1n253
+
−
+−+−=
−
,
)
,
(
х
+∞
−∞
Полагая х=1 получим ряд Лейбница:
...
1
n
2
1
)1(...
5
1
3
1
1
4
1n
+
−
−+−+−=
π
−
5.
...
n
х
)1(...
3
х
2
х
x)1xln(
n
1n
32
+−+−+−=+
−
, - 1<x≤1
6. Биномиальный ряд
(х+1)
m
=1+mx+
+
+
−
−
++
−
n2
x
!
n
)1nm)...(1m(m
...x
!
2
)1m(m
…, |x|<1
7.
...х...хх1
х
1
1
1n2
+++++=
−
−
, |x|<1
бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем q=x.
Пример 1. Разложить в ряд по степеням х функцию
х
1
1
+
.
Решение
Воспользуемся разложением функции
х
1
1
−
. В формуле
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
               Интервалом сходимости является интервал (-4,0).
               Исследуем поведение ряда на концах промежутка [-4,0] .
               Подставляя в ряд х= - 4, затем х=0 получим числовые ряды:
                                  1-1+1-1+… и 1+1+1+1+…,
               которые расходятся, так как у них не выполняется необходимое ус-
         ловие сходимости ряда lim a n = 0 .
                                       n →∞
               Следовательно, в интервале ( - 4, 0) полученный ряд сходится имен-
         но к данной функции.

                           Использование табличных разложений
                 Справедливы разложения элементарных функций в ряд Макло-
         рена:
                              х х2 х3                хn
                 1.      х
                      е = 1+ +         +    + ... +       + ... , х ∈ ( −∞,+∞ )
                              1! 2! 3!               n!
                                                                  2 n −1
                                 х3 х5                  n −1 х
                 2.   Sinx = x −     +    − ... + ( −1)                    + ... , х ∈ ( −∞,+∞ )
                                  3! 5!                      (2n − 1)!
                                 х2 х4                    х 2n
                 3.   Cosx = 1 −    +    − ... + (−1) n           + ... , х ∈ ( −∞,+∞ )
                                 2! 4!                   (2n )!
                                   х3 х5            х 2n −1
                 4.   Arctgx = x − +       − ... +          + ... , х ∈ ( −∞,+∞ )
                                    3    5          2n − 1
                 Полагая х=1 получим ряд Лейбница:
                 π      1 1                    1
                   = 1 − + − ... + (−1) n −1        + ...
                 4      3 5                  2n − 1
                                         х2 х3               n −1 х
                                                                    n
                 5.     ln( x + 1) = x −   +   − ... + ( −1)          + ... , - 1

Страницы