Ряды. Картечина Н.В - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

30
Непосредственное разложение
Для непосредственного разложения данной функции в ряд
Тейлора нужно:
1. написать ряд Тейлора для данной функции, т. е. вычис-
лить значения этой функции и ее производных при х=а и подставить
их в общее выражение ряда Тейлора для произвольной функции;
2. определить совокупность значений х, при которых
полученный ряд сходится к данной функции, т. е. исследовать
сходимость ряда Тейлора, как обычного степенного ряда.
Пример 1. Разложить в ряд Тейлора функцию
х
1
при а= - 2.
Решение
Вычисляем значения этой функции и ее производных при х= - 2:
f(x)=x
-1
f(-2)= -
2
1
f
′
(x)= -1x
-2
f
′
(-2)=
2
2
!1
−
f
′
′
(x)=
2
1
⋅
x
-3
f
′
′
(x)=
3
2
!2
−
f
′
′
′
(x)=
3
2
1
⋅
⋅
−
x
-4
f
′
′
′
(x)=
4
2
!3
−
……………….. ………………..
f
(n)
(x)=(-1)
n
n!x
-n-1
f
(n)
(x)=
1n
!n
+
−
Подставляя эти значения в ряд Тейлора для произвольной функции,
получим:
+
+
+
+
+
+
+
+
+⋅−=
=−
⋅
+
−−
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
+
−−=
+
...
2
)2x(
...
2
)2x(
2
)2x(
2
2x
1
2
1
...
!n2
)2х(!n
....
!32
)2х(!3
!22
)2х(!2
!12
)2х(!1
2
1
х
1
n
n
3
3
2
2
1n
n
4
3
3
2
2
Исследуем сходимость полученного степенного ряда по признаку
Даламбера:
u
n
=
n
n
2
)2х( +
, u
n+1=
1n
1n
2
)2х(
+
+
+
, тогда
2
2x
)2x(2
2)2х(
lim
u
u
lim
n1n
n1n
n
n
1n
n
+
=
+
+
=
+
+
∞→
+
∞→
<1, если
-2<x+2<2
-4<x<0.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                               Непосредственное разложение
                      Для непосредственного разложения данной функции в ряд
                Тейлора нужно:
                      1.   написать ряд Тейлора для данной функции, т. е. вычис-
                лить значения этой функции и ее производных при х=а и подставить
               их в общее выражение ряда Тейлора для произвольной функции;
                      2.   определить совокупность значений х, при которых
               полученный ряд сходится к данной функции, т. е. исследовать
               сходимость ряда Тейлора, как обычного степенного ряда.
                                                                           1
                      Пример 1. Разложить в ряд Тейлора функцию              при а= - 2.
                                                                           х
                                                         Решение
              Вычисляем значения этой функции и ее производных при х= - 2:
              f(x)=x-1                         f(-2)= - 1
                                                           2
              f ′ (x)= -1x-2                    f ′ (-2)= − 1!
                                                              22
              f ′′ (x)=1⋅ 2 x-3                 f ′′ (x)= − 2!
                                                              23
               f ′′′ (x)= − 1 ⋅ 2 ⋅ 3 x-4        f ′′′ (x)= − 3!
                                                               24
              ………………..                          ………………..
              f(n)(x)=(-1)nn!x-n-1             f(n)(x)= − n!
                                                             2 n +1
              Подставляя эти значения в ряд Тейлора для произвольной функции,
         получим:
              1        1 1!( х + 2) 2!( х + 2) 2 3!( х + 2)3                n!( х + 2) n
                 =− − 2                   −              −          − .... − n +1        − ... =
              х        2       2 ⋅ 1!       2 ⋅ 2!
                                             3
                                                             2 ⋅ 3!
                                                                4
                                                                             2 ⋅ n!
                 1  x + 2 ( x + 2) 2 ( x + 2)3                  ( x + 2) n      
              = − ⋅ 1 +        +           +             +  ...            + ...
                 2        2         22           23                 2n          
              Исследуем сходимость полученного степенного ряда по признаку
         Даламбера:
                                                               n +1
                              un= (х + 2) , un+1= ( х + 2) , тогда
                                          n

                                      2n                 2 n +1
                             u n +1         ( х + 2) n +1 2 n       x+2
                        lim         = lim n +1                 =           <1, если
                       n →∞ u n       n →∞ 2      ( x + 2)  n         2
                                              -2

Страницы