Ряды. Картечина Н.В - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

28
∑∑∑
∞
=
−
∞
=
∞
=
+
=
+
=
+
+
1n
n
1n
n
n
1n
n
n
)15(n
1
)15(n
5
)15(n
)23(
.
Этот ряд расходится, так как каждый его член больше соответст-
вующего члена расходящегося гармонического ряда
∑
∞
=
+
1n
1n
1
, т. е.
1n
1
)15(n
1
n
+
>
+
−
.
Следовательно, областью сходимости данного ряда является полу-
открытый промежуток [- 7, 3).
ЗАДАЧИ
В № 91 - 100 Найти области сходимости рядов:
№ 91.
∑
∞
=
+
1
n
4
n
n
)5x(
№ 92.
∑
∞
=
−
+
1
n
n
1n
7n
)2x(
№ 93.
∑
∞
=
+
−
1
n
n
1nn
)2x(
№ 94.
∑
∞
=
⋅
−
1
n
n3
n2
3n
)4x(
№ 95.
∑
∞
=1n
2
n
)!n(n
x)!n2(
№ 96.
n
n2
1
n
n
2
x
n
1
1
2
⋅
−
∑
∞
=
№ 97.
n2
1
n
n
x
)!n2(
!n2
∑
∞
=
№ 98.
∑
∞
=
+
1n
2
n3
n
)8x(
№ 99.
∑
∞
=
−
n
1n
x!n
№ 100.
∑
∞
=
−
1
n
n2n
x)2(
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕННОЙ РЯД
Пусть функция f(x) в некотором промежутке имеет производные всех
порядков. Тогда для всех значений х в этом промежутке имеет место раз-
ложение
...)ax(
!
n
)a(f
...)ax(
!
2
)a(f
)ax(
!
1
)a(f
)a(f)x(f
n
)n(
2
+−++−
′′
+−
′
+=
Такой степенной ряд, порожденный функцией f(x), независимо от
того, сходится ли он и имеет ли своей суммой f(x), - называется рядом
Тейлора для функции f(x).
Частный случай ряда Тейлора при а=0 называется рядом Маклоре-
на и имеет вид:
...x
!
n
)0(f
...x
!
2
)0(f
x
!
1
)0(f
)0(f)x(f
n
)n(
2
+++
′′
+
′
+=
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                         ∞   (3 + 2) n       ∞   5n          ∞       1
                                        ∑                =   ∑           =   ∑      −n
                                                                                              .
                                 + 1) n =1n (5 + 1) n =1n (5 + 1)
                                        n =1n (5
                                                   n             n

             Этот ряд расходится, так как каждый его член больше соответст-
                                                                  ∞
         вующего члена расходящегося гармонического ряда ∑ 1 , т. е.
                                                                                              n =1n + 1
              1         1 .
                       >
         n (5− n + 1) n + 1
                 Следовательно, областью сходимости данного ряда является полу-
         открытый промежуток [- 7, 3).

                                               ЗАДАЧИ
                           В № 91 - 100 Найти области сходимости рядов:
                            ∞   ( x + 5) n                                          ∞             n2
                                                                         № 96. ∑ 1 − 1                 x 2n
                  № 91.     ∑       4
                                                                                                       ⋅
                           n =1 n                                              n =1   n                  2n
                            ∞ ( x + 2) n −1                                         ∞  2 n n! 2n
                  № 92.     ∑                                            № 97.     ∑          x
                           n =1      n7n                                           n =1( 2n )!
                            ∞ (x                                                    ∞   ( x + 8)3n
                               − 2) n                                    № 98.
                  № 93. ∑                                                          ∑
                        n =1 n n + 1                                               n =1     n2
                            ∞                                                       ∞
                                  ( x − 4) 2 n                           № 99.     ∑ n! x n −1
                  № 94.     ∑
                           n =1 n ⋅ 3
                                  3 n                                              n =1
                                                                                        ∞
                            ∞ ( 2n )! x n                                № 100.
                  № 95.     ∑                                                        ∑ (−2) n x 2n
                                                                                    n =1
                           n =1   n (n!) 2

                         РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕННОЙ РЯД
               Пусть функция f(x) в некотором промежутке имеет производные всех
         порядков. Тогда для всех значений х в этом промежутке имеет место раз-
         ложение
                                   f ′(a )            f ′′(a )                      f ( n ) (a )
               f ( x ) = f (a ) +          (x − a ) +           ( x − a ) + ... +
                                                                         2
                                                                                                 ( x − a ) n + ...
                                      1!                 2!                              n!
               Такой степенной ряд, порожденный функцией f(x), независимо от
         того, сходится ли он и имеет ли своей суммой f(x), - называется рядом
         Тейлора для функции f(x).
               Частный случай ряда Тейлора при а=0 называется рядом Маклоре-
         на и имеет вид:
                                              f ′(0)       f ′′(0) 2           f ( n ) (0) n
                          f ( x ) = f (0) +          x+             x + ... +                x + ...
                                                 1!           2!                    n!



         28

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы