Ряды. Картечина Н.В - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

26
Решение
Применять формулы (*) и (**) здесь нельзя, так как бесконечное
множество коэффициентов ряда равно нулю (а именно, а
2n
=0, ибо здесь от-
сутствуют члены с четными степенями (х-а)).
Применим признак Даламбера.
u
n
=
3
1n2
n
)2х(
−
−
, u
n+1=
3
1)1n(2
)1n(
)2х(
+
−
−+
, тогда
2
3
2
n
1n23
31n2
n
1n23
31)1n(2
n
n
1n
n
)2x(
1n
n
)2x(lim
)2x()1n(
n)2х(
lim
)2x()1n(
n)2х(
lim
u
u
lim
−=
+
−=
=
−+
−
=
−+
−
=
∞→
−
+
∞→
−
−
+
∞→
+
∞→
Так как при (х-2)
2
<1 или |x-2|<1 ряд сходится, а при (х-2)
2
>1 или |x-
2|>1 ряд расходится, в соответствии с определением радиус сходимости
данного ряда R=1. Неравенство |x-2|<1 равносильно неравенствам
-1<x-2<1
1<x<3.
Интервалом сходимости является интервал (1,3).
Исследуем поведение ряда на концах промежутка [1,3].
При х=3 получим ряд
∑∑
∞
=
∞
=
−
=
−
1
n
3
1
n
3
1n2
n
1
n
)23(
. Ряд сходится (ряд Ди-
рихле, р=3>1).
При х=1 получим ряд
∑∑∑
∞
=
∞
=
−
∞
=
−
−=
−
=
−
1
n
3
1
n
3
1n2
1
n
3
1n2
n
1
n
)1(
n
)21(
. Этот
ряд также сходится. Следовательно, областью сходимости данного ряда
является замкнутый промежуток [1,3].
Пример 5. Найти область сходимости степенного ряда
∑
∞
=
+
1
n
n2
n
)3х(
.
Решение
Применяем признак Даламбера.
u
n
=
n
)3х(
n2
+
, u
n+1=
)1n(
)3х(
2n2
+
+
+
, тогда
22
n
n2
2n2
n
n
1n
n
)3x(
1n
n
)3x(lim
)3x)(1n(
n)3х(
lim
u
u
lim +=
+
+=
++
+
=
∞→
+
∞→
+
∞→
Так как при (х+3)
2
<1 или |x+3|<1 ряд сходится, а при (х+3)
2
>1 или
|x+3|>1 ряд расходится, в соответствии с определением радиус сходимости
данного ряда R=1. Неравенство |x+3|<1 равносильно неравенствам
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                        Решение
               Применять формулы (*) и (**) здесь нельзя, так как бесконечное
         множество коэффициентов ряда равно нулю (а именно, а2n=0, ибо здесь от-
         сутствуют члены с четными степенями (х-а)).
               Применим признак Даламбера.
                                    ( х − 2) 2n −1                    2 ( n +1) −1
                              un=                    , un+1= ( х − 2)              , тогда
                                         n3                       (n + 1)   3

                      u n +1          ( х − 2) 2( n +1) −1 n 3           ( х − 2) 2n +1 n 3
                  lim        = lim                             = lim                             =
                 n →∞ u n      n → ∞ (n + 1) 3 ( x − 2) 2 n −1   n → ∞ (n + 1) 3 ( x − 2) 2 n −1
                                              3
                                 2  n 
                 = lim ( x − 2)          = ( x − 2)
                                                        2
                    n →∞          n + 1
                Так как при (х-2)2<1 или |x-2|<1 ряд сходится, а при (х-2)2>1 или |x-
         2|>1 ряд расходится, в соответствии с определением радиус сходимости
         данного ряда R=1. Неравенство |x-2|<1 равносильно неравенствам
                                                      -11).
                                                ∞ (1 − 2) 2 n −1       ∞ ( −1) 2 n −1     ∞ 1
                При х=1 получим ряд ∑                              =∑                 = − ∑ 3 . Этот
                                                           3                    3
                                               n =1     n             n =1    n          n =1n
         ряд также сходится. Следовательно, областью сходимости данного ряда
         является замкнутый промежуток [1,3].
                         Пример 5. Найти область сходимости степенного ряда
          ∞ ( х + 3) 2 n
          ∑ n .
         n =1
                                                   Решение
                Применяем признак Даламбера.
                                    ( х + 3) 2n                    2n + 2
                               un=               , un+1=  ( х + 3)        , тогда
                                         n                    (n + 1)
                     u n +1           ( х + 3) 2 n + 2 n                 2 n
                 lim        = lim                        =  lim ( x + 3)       = ( x + 3) 2
                n →∞ u n      n → ∞ ( n + 1)( x + 3) 2 n   n →∞           n +1
               Так как при (х+3)2<1 или |x+3|<1 ряд сходится, а при (х+3)2>1 или
         |x+3|>1 ряд расходится, в соответствии с определением радиус сходимости
         данного ряда R=1. Неравенство |x+3|<1 равносильно неравенствам

         26

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы