Ряды. Картечина Н.В - 24 стр.

               Определение. Радиусом сходимости степенного ряда называется
         число R такое, что при |x-a|R расходится.
         Интервал (а-R, a+R) в этом случае называется интервалом сходимости
         степенного ряда.
               Отметим, что на концах интервала сходимости, т. е. при х= a±R, сте-
         пенной ряд может или сходится или расходится.
               Если числовой ряд сходится на всей числовой оси, полагают R=∞;
         если он сходится только при х=а, полагают, R=0. Степенной ряд сходится
         абсолютно и равномерно на любом отрезке, принадлежащем интервалу
         сходимости.
               Существуют различные возможности определения радиуса сходимо-
         сти степенного ряда. Радиус сходимости можно найти с помощью призна-
         ка Даламбера, или признака Коши, или вычислить по одной из формул:
                                                        1
                                            R=                       (*)
                                                  lim    n   an
                                                  n →∞
                                                        an
                                           R= lim             , (**)
                                                 n → ∞ a n +1
         если соответствующий предел существует.
               Два степенных ряда можно почленно складывать и умножать (по
         правилу умножения многочленов). При этом интервалом сходимости по-
         лученного нового степенного ряда будет совокупность всех точек, в кото-
         рых одновременно сходятся оба ряда.
               Степенной ряд в интервале его сходимости можно почленно интег-
         рировать, а внутри интервала сходимости можно почленно дифференциро-
         вать.
                     Пример 1. Найти радиус сходимости степенного ряда
          ∞
          ∑ 3n x n .
          n =1

                                         Решение
                 В данном случае коэффициенты степенного ряда: аn=3n.
                                                         1
                 Воспользуемся формулой R=                           и получим:
                                                   lim      n   an
                                                   n →∞
                                    R=
                                             1                1   1
                                                     =           = .
                                         lim n 3n           lim 3 3
                                                         n →∞
                                         n →∞




         24

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com