Ряды. Картечина Н.В - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

22
Следовательно, исходный ряд будет сходящимся, согласно признаку
Даламбера, для всех значений х, кроме
,...2,1,0k,k
2
x
k
±±=π+
π
=
, при
которых d=1.
При х=
k
x и при четном k получим ряд 1+2+3+…+n+…, а при не-
четном k – ряд -1+2-3+…+(-1)
n
n+…, которые оба расходятся вследствии
невыполнения необходимого признака сходимости.
Следовательно, область сходимости данного ряда есть вся числовая
ось, исключая точки
k
x .
Пример 3. Определить область сходимости функционального
ряда
∑
∞
=
⋅
+
1
n
nx
n
2
n
1
1
.
Решение
Применим к данному ряду признак Коши, для чего найдем предел:
n
n
n
alim
∞→
=q.
Так как a
n
=
nx
n
2
n
1
1 ⋅
+
, то
xx
n
n
nx
n
n
n
n
n
22
n
1
1lim2
n
1
1limalim =⋅
+=⋅
+=
∞→∞→∞→
.
Найдем те значения х, при которых этот предел меньше 1, для чего
решим неравенство 2
х
<1, которое выполняется при х<0. Случай, когда
2
х
=1, т. е. х=0, исследуем особо. При х=0 данный ряд принимает вид
∑
∞
=
+
1
n
n
n
1
1
. Этот ряд расходится, так как для него не выполнен необходи-
мый признак сходимости (общий член к нулю не стремится:
e
n
1
1limalim
n
n
n
n
=
+=
∞→∞→
.
Итак, ряд сходится при х
∈
,
0
(
).
Пример 4. Определить область сходимости функционального
ряда
∑
∞
=
1
n
n
xln .
Решение
Члены ряда образуют геометрическую прогрессию со знаменателем
q=lnx. Поэтому ряд сходится, если
|lnx|<1,
-1<lnx<1,
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
               Следовательно, исходный ряд будет сходящимся, согласно признаку
                                                      π
         Даламбера, для всех значений х, кроме x k = + πk , k = 0,±1,±2,... , при
                                                      2
         которых d=1.
               При х= x k и при четном k получим ряд 1+2+3+…+n+…, а при не-
         четном k – ряд -1+2-3+…+(-1)nn+…, которые оба расходятся вследствии
         невыполнения необходимого признака сходимости.
               Следовательно, область сходимости данного ряда есть вся числовая
         ось, исключая точки x k .
                    Пример 3. Определить область сходимости функционального
                 ∞              n
         ряда ∑ 1 +  ⋅ 2 nx .
                     1
              n =1  n
                                      Решение
               Применим к данному ряду признак Коши, для чего найдем предел:
          lim n a n =q.
          n →∞
                                            n
                 Так как an= 1 + 1  ⋅ 2nx , то
                               n
                                                      n
                                                1                  1
                             lim n a n = lim n 1 +  ⋅ 2 nx = lim 1 +  ⋅ 2 x = 2 x .
                            n →∞         n →∞     n          n → ∞  n
               Найдем те значения х, при которых этот предел меньше 1, для чего
         решим неравенство 2х<1, которое выполняется при х<0. Случай, когда
         2х=1, т. е. х=0, исследуем особо. При х=0 данный ряд принимает вид
          ∞             n
              1
         ∑ 1 + n  . Этот ряд расходится, так как для него не выполнен необходи-
         n =1    
         мый      признак           сходимости    (общий     член   к   нулю     не   стремится:
                                        n
                         1
          lim a n = lim 1 +  = e .
         n →∞       n →∞   n
                 Итак, ряд сходится при х∈ (0,+∞ ).
                       Пример 4. Определить область сходимости функционального
                 ∞
         ряда    ∑ ln n x .
                 n =1
                                         Решение
               Члены ряда образуют геометрическую прогрессию со знаменателем
         q=lnx. Поэтому ряд сходится, если
                                          |lnx|<1,
                                         -1

Страницы