Ряды. Картечина Н.В - 23 стр.

                                                    1
                                                      < x < e.
                                                    е
                                                                                      1
                Таким образом, область сходимости данного ряда ( , e ).
                                                                                      е
                        Пример 5. Определить область сходимости функционального
                ∞         x
         ряда   ∑ Cos n .
                n =1
                                      Решение
              Возьмем произвольное значение х=х0. При этом значении получим
         числовой ряд
                                                  x0            x
                                 Cosx 0 + Cos        + ... + Cos 0 + ...           (*)
                                                  2              n
                Найдем предел его общего члена:
                                             x0
                                      lim a n = lim Cos
                                                = Cos 0 = 1 ≠ 0 .
                           n →∞     n →∞      n
              Следовательно, ряд (*) расходится при произвольно выбранном, т.е.
         при любом, значении х. Область его сходимости – пустое множество.

                                       ЗАДАЧИ
                    В № 81 - 90 для указанных функциональных рядов найти об-
         ласти сходимости:
                     ∞ n              № 85. ∑∞                        ∞ tg n x
                                                ln n (1 + x 2 )
               № 81. ∑           n          n =1
                                                                № 89. ∑
                                                                                                         2
                         n =1х                               ∞                                    n =1 n
                                                                   n!
                          ∞
                № 82. ∑ Sinnx                      № 86.    ∑                                      ∞ lg n x
                           2
                         n =1   n                           n =1х
                                                                  n                  № 90.        ∑ n
                                                             ∞                                    n =1
                          ∞
                № 83.     ∑ enx                    № 87.    ∑n   ln x

                         n =1                               n =1
                          ∞                                  ∞     1
                № 84.     ∑
                                n                  № 88.    ∑       n
                         n =12
                                 nx                         n =1х


                                          СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
              Среди функциональных рядов наиболее важное место занимают сте-
         пенные ряды.
              Определение. Степенным рядом называется ряд вида
                                                                                           ∞
                    a 0 + a1 ( x − а ) + a 2 ( x − а ) 2 + ... + a n ( x − а ) n + ... =   ∑ a n (x − а )n
                                                                                           n =1
                где а0, а1, а2,…аn,… - числа, называемые коэффициентами ряда.

                                                                                                              23

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com