Ряды. Картечина Н.В - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

21
В простейших случаях для определения области сходимости ряда
(1), можно применять к нему известные признаки сходимости, считая х
фиксированным.
Пример 1. Определить область сходимости функционального
ряда
∑
∞
=
+
1n
n
)2x(n
1
.
Решение
Используем признак Даламбера.
a
n
=
n
)2x(n
1
+
, a
n+1
=
1n
)2x)(1n(
1
+
++
и
2x
1
2xn
n
lim
a
a
lim
n
n
1n
n
+
=
+
=
∞→
+
∞→
.
;1
2x
1
<
+
|x+2|>1;
x+2< -1, x+2>1;
-
∞
<x< -3, -1<x<+
∞
.
Границы двух найденных интервалов исследуем особо.
При х= -3 получим знакочередующийся числовой ряд с общим чле-
ном
nnn
)1(n
1
)23(n
1
)2x(n
1
−
=
+−
=
+
, который сходится согласно признаку
Лейбница.
При х= -1 получим гармонический расходящийся ряд.
Следовательно, область сходимости данного ряда состоит из двух
бесконечных интервалов (-
∞
; -3] и ( -1; +
∞
).
Пример 2. Определить область сходимости функционального
ряда
∑
∞
=
1
n
3
n
xSinn .
Решение
Используем признак Даламбера.
a
n
=
3
n
xSinn
, a
n+1
=
3
1n
xSin)1n(
+
+
и
d=
33
n
n
1n
n
SinxSinx
n
1n
lim
a
a
lim =
+
=
∞→
+
∞→
≤1,
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
               В простейших случаях для определения области сходимости ряда
         (1), можно применять к нему известные признаки сходимости, считая х
         фиксированным.

                           Пример 1. Определить область сходимости функционального
                ∞          1
         ряда   ∑                   .
                n =1n ( x + 2)
                               n


                                        Решение
                Используем признак Даламбера.
                                             1                            1
                                   an=                    , an+1=                        и
                                                                                  n +1
                                      n ( x + 2)      n
                                                        (n + 1)( x + 2)
                                           a                n         1
                                     lim n +1 = lim               =      .
                                    n →∞ a n       n →∞ n x + 2      x+2
                                                 1
                                                     < 1; |x+2|>1;
                                               x+2
                                      x+2< -1, x+2>1;
                                   - ∞

Страницы