Ряды. Картечина Н.В - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

19
Решение
Ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, т.
е. ряд
∑
∞
=
1
n
n
1
расходится (ряд Дирихле, р=
2
1
≤ 1). Поэтому о сходимости
исходного ряда пока ничего сказать нельзя. Применим к данному знакоче-
редующемуся ряду признак Лейбница. Условия признака Лейбница здесь
выполнены:
1.
...
4
1
3
1
2
1
1 >>>>
,
2.
n
1
limalim
n
n
n ∞→∞→
=
=0.
Следовательно, этот ряд сходится. Так как ряд из абсолютных вели-
чин расходится, данный ряд сходится условно (неабсолютно).
Пример 4. Исследовать характер сходимости знакопеременного
ряда:
...
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
222222
−+−−+−−
Решение
Ряд составленный из абсолютных величин членов данного ряда име-
ет вид
...
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
222222
−++++++
и является сходящимся (ряд Ди-
рихле, р=2>1). Следовательно, данный ряд сходится абсолютно.
Пример 6. Исследовать характер сходимости ряда
∑
∞
=
+
−
1
n
)1n(n
)1(
.
Решение
Исследуем ряд с положительными членами
∑
∞
=
+
1
n
)1n(n
1
, составленный
из абсолютных величин членов данного ряда. Применим интегральный
признак
2ln
1
b
1x
x
lnlim
)x(
)x(d
lim
2
1
)1x(x
dx
b
b
1
4
1
2
2
1
2
1
b
1
=
+
=
−+
+
=
+
+∞→+∞→
∞
∫∫
.
Итак, ряд с положительными членами сходится, а данный ряд схо-
дится абсолютно.
Пример 6. Исследовать ряд на сходимость
∑
∞
=
π
1
n
3
n
Sin .
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                            Решение
                  Ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, т.
                       ∞   1                             1
         е. ряд        ∑      расходится (ряд Дирихле, р= ≤ 1). Поэтому о сходимости
                   n =1     n                            2
         исходного ряда пока ничего сказать нельзя. Применим к данному знакоче-
         редующемуся ряду признак Лейбница. Условия признака Лейбница здесь
         выполнены:
              1. 1 > 1 > 1 > 1 > ... ,
                                   2       3        4
                                  1 =0.
                  2.       lim a n = lim
                   n→∞      n →∞ n
               Следовательно, этот ряд сходится. Так как ряд из абсолютных вели-
         чин расходится, данный ряд сходится условно (неабсолютно).

                           Пример 4. Исследовать характер сходимости знакопеременного
         ряда:
                                                    1           1           1           1           1           1
                                               1−       2
                                                            −       2
                                                                        +       2
                                                                                    −       2
                                                                                                −       2
                                                                                                            +        − ...
                                                    2           3           4           5           6           72

                                           Решение
                  Ряд составленный из абсолютных величин членов данного ряда име-
                           1       1       1         1              1               1
         ет вид 1 +            +       +        +           +               +
                                             − ... и является сходящимся (ряд Ди-
                   2 2 32 4 2 5 2 6 2 7 2
         рихле, р=2>1). Следовательно, данный ряд сходится абсолютно.
                                                                 ∞ ( −1) n
              Пример 6. Исследовать характер сходимости ряда ∑                 .
                                                                n =1n ( n + 1)
                                         Решение
                                                                                                                      ∞       1 , составленный
                  Исследуем ряд с положительными членами ∑
                                                                                                                     n =1n ( n + 1)
         из абсолютных величин членов данного ряда. Применим интегральный
         признак
                  ∞                       b d(x + 1 )
                        dx       1                                 x b
                  ∫ x ( x + 1) = 2 b lim  ∫           =                  = ln 2 .
                                                   2
                                                          lim  ln
                  1                  → +∞ 1 (x + ) −
                                                1 2 1   b → +∞    x +1 1
                                                                            2               4
               Итак, ряд с положительными членами сходится, а данный ряд схо-
         дится абсолютно.
                                                                                                                              ∞      nπ
                           Пример 6. Исследовать ряд на сходимость                                                           ∑ Sin      .
                                                                                                                             n =1     3


                                                                                                                                            19

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы