Ряды. Картечина Н.В - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

18
...a)1(...aaaaaa)1(
n
1n
54321
1
n
n
1n
+−+−+−+−=−
+
∞
=
+
∑
, (а
n
>0)
(3)
сходится, если выполнены условия:
1.
...aaaaa
54321
≥
≥
≥
≥
≥
;
2.
n
n
alim
∞→
=0.
Пример 1. Исследовать, сходится или расходится ряд
...
3
)1(
...
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
1
n
)1n(n
765432
+
−
++−−++−−+
−
.
Решение
Составляем ряд из абсолютных величин членов данного ряда:
...
3
1
...
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
1
n765432
++++++++++
.
Последний ряд сходится, как геометрическая прогрессия со знамена-
телем q=
1
<1. Следовательно, данный ряд также сходится; он является аб-
солютно сходящимся рядом.
Пример 2. Доказать сходимость ряда
∑
∞
=
1
n
3
n
nSin
.
Решение
Составляем ряд из абсолютных величин членов данного ряда:
...
n
Sinn
...
3
3Sin
2
2Sin
1
1Sin
n
n
3333
1
n
3
+++++=
∑
∞
=
Sin
Так как |Sin n|≤1, каждый член последнего ряда не превышает соот-
ветствующего члена сходящегося ряда Дирихле
∑
∞
=
+++=
1
n
3333
...
3
1
2
1
1
1
n
1
(р=3>1).
По первому признаку сравнения ряд, составленный из абсолютных
величин сходится. Поэтому сходится и данный ряд, причем абсолютно.
Пример 3. Исследовать характер сходимости знакочередующе-
гося ряда
...
n
)1(
...
4
1
3
1
2
1
1
1n
+
−
++−+−
+
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                 ∞
                ∑ (−1) n +1 a n = a1 − a 2 + a 3 − a 4 + a 5 − ... + (−1) n +1 a n + ...   ,   (аn>0)
                n =1
         (3)
                сходится, если выполнены условия:
                1.   a 1 ≥ a 2 ≥ a 3 ≥ a 4 ≥ a 5 ≥ ... ;
                2.       lim a n =0.
                         n →∞

                     Пример 1. Исследовать, сходится или расходится ряд
                             1 1 1 1 1 1 1                    (−1) n ( n −1)
                          1 + − 2 − 3 + 4 + 5 − 6 − 7 + ... +                + ... .
                             3 3   3 3 3 3 3                     3n

                                         Решение
                Составляем ряд из абсолютных величин членов данного ряда:
                             1 1 1        1    1   1    1       1
                          1 + + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ... + n + ... .
                             3 3      3 3     3   3    3       3
                Последний ряд сходится, как геометрическая прогрессия со знамена-
                     1
         телем q= <1. Следовательно, данный ряд также сходится; он является аб-
                     3
         солютно сходящимся рядом.
                                                                       ∞   Sinn
                         Пример 2. Доказать сходимость ряда            ∑         3
                                                                                     .
                                                                      n =1   n

                                            Решение
               Составляем ряд из абсолютных величин членов данного ряда:
                          ∞ Sinn      Sin1 Sin 2 Sin 3     Sinn
                         ∑ 3 = 3 + 3 + 3 + ... + 3 + ...
                         n =1 n        1     2     3        n
               Так как |Sin n|≤1, каждый член последнего ряда не превышает соот-
         ветствующего члена сходящегося ряда Дирихле
                                 ∞ 1      1 1    1
                                ∑ 3 = 3 + 3 + 3 + ... (р=3>1).
                                n =1n    1 2    3
               По первому признаку сравнения ряд, составленный из абсолютных
         величин сходится. Поэтому сходится и данный ряд, причем абсолютно.

                         Пример 3. Исследовать характер сходимости знакочередующе-
         гося ряда
                                          1    1    1          (−1) n +1
                                       1−    +    −    + ... +           + ...
                                           2    3    4             n


         18

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы