Ряды. Картечина Н.В - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

27
- 1<x+3<1
- 4<x< -2.
Интервалом сходимости является интервал (- 4, - 2).
Исследуем поведение ряда на концах промежутка [- 4, - 2].
При х=−4 получим ряд
∑∑
∞
=
∞
=
=
+−
1n1n
n2
n
1
n
)34(
.
Этот ряд расходится (гармонический ряд).
При х=−2 получим ряд
∑∑
∞
=
∞
=
=
+−
1
n
1
n
n2
n
1
n
)32(
. Этот ряд также расхо-
дится. Следовательно, областью сходимости данного ряда является интер-
вал (- 4, - 2).
Пример 6. Найти область сходимости степенного ряда
∑
∞
=
+
+
1n
n
n
)15(n
)2х(
.
Решение
Применяем признак Даламбера.
u
n
=
)15(n
)2х(
n
n
+
+
, u
n+1=
)15)(1n(
)2х(
1n
1n
++
+
+
+
, тогда
5
2x
55
15
n
1
1
1
2xlim
)15)(1n(
)15(n
2xlim
)2x)(15)(1n(
)15(n)2х(
lim
u
u
lim
n
n
n
1n
n
n
n1n
n1n
n
n
1n
n
+
=
+
+
⋅
+
⋅+=
++
+
+=
=
+++
++
=
−
−
∞→
+
∞→
+
+
∞→
+
∞→
Ряд сходится, когда полученный предел меньше единицы, т. е.
5
2x
+
<1 или |x+2|<5.
Так как при |x+2|<5 ряд сходится, а при |x+2|>5 расходится, радиус
сходимости R=5.
Интервалом сходимости является интервал (- 7, 3).
Исследуем поведение ряда на концах промежутка [- 7, 3].
При х=−7 получим ряд
∑∑∑
∞
=
−
∞
=
∞
=
+
−
=
+
−
=
+
+−
1n
n
n
1n
n
n
1n
n
n
)15(n
)1(
)15(n
)5(
)15(n
)27(
.
Этот ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница, поэтому он
сходится.
При х=3 получим ряд
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                               - 15 расходится, радиус
         сходимости R=5.
              Интервалом сходимости является интервал (- 7, 3).
              Исследуем поведение ряда на концах промежутка [- 7, 3].
              При х=−7 получим ряд
                                   ∞   ( −7 + 2) n       ∞   ( −5) n       ∞   (−1) n
                                  ∑                  =   ∑             =   ∑    −n
                                                                                        .
                                   + 1) n =1n (5 + 1) n =1n (5 + 1)
                                  n =1 n (5
                                              n                n

               Этот ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница, поэтому он
         сходится.
              При х=3 получим ряд




                                                                                            27

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы