Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 5 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

Введение
Уравнения первого порядка с запаздыванием вида
˙x + x = f(x(t T )) (T > 0) (0.1)
возникают во многих прикладных задачах [9, 31, 30, 33, 34, 35, 36, 39, 40,
43, 26, 5, 6, 21, 32, 22, 24, 29].
Фазовым пространством уравнения (0.1) удобно считать пространство
C
[T,0]
непрерывных на [T, 0] функций со стандартной нормой. В этом
смысле уравнение (0.1) существенно сложнее уравнения
˙x + x = f(x), (0.2)
в которое оно переходит при T = 0. Обыкновенное дифференциальное
уравнение (0.2), как известно, интегрируется в квадратурах. Его реше-
ния стремятся либо к состоянию равновесия, т.е. к решению уравнения
x = f(x), либо неограниченно растут по модулю при t . Решения
уравнения (0.1) тоже вычислить достаточно просто. Так, положив в ка-
честве начального условия функцию ϕ(s) C
[T,0]
.е. x(s) = ϕ(s) при
s [T, 0]), на отрезке t [0, T ] приходим к уравнению
˙x + x = f(ϕ(t T )), t [0, T ],
из которого получаем, что при t [0, T ]
x(t) = ϕ(0)e
t
+
t
Z
0
e
(ts)
f(ϕ(s T )) ds.
Теперь, зная решение x(t) при t [0, T ], мы аналогично можем получить
формулу для x(t) при t [T, 2T ] и т.д. Ниже будет показано, что в отли-
чие от уравнения (0.2) динамика уравнения (0.1) может быть существенно
богаче и интереснее. Основное внимание будет уделено изучению динами-
ки уравнения (0.1) асимптотическими методами. Первая часть посвящена
5