ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
8 Часть I. Локальный анализ
§1. Общие сведения
1.1. Рассматривается дифференциально-разностное уравнение
˙x + x = f(x(t − T )), (1.1)
где T > 0, а функция f(x) предполагается достаточно гладкой. Пусть x
0
— состояние равновесия этого уравнения, т.е.
x
0
= f(x
0
).
В уравнении (1.1) произведем замену
x = x
0
+ y.
В результате получим уравнение
˙y + y = ay(t − T ) + F (y(t − T )), (1.2)
где a = f
0
(x
0
), а F (y) имеет в нуле порядок малости выше первого, т.е.
lim
|y|→0
F (y)
y
= 0. Как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений,
для уравнения (1.2) имеет место теорема Ляпунова об устойчивости по
первому приближению. Для того, чтобы сформулировать соответствующий
результат, рассмотрим линеаризованное на нулевом состоянии равновесия
уравнения (1.2) уравнение
˙y + y = ay(t − T ). (1.3)
Ниже через R(r) обозначен шар радиуса r с центром в нуле в пространстве
C
[−T,0]
.
Утверждение 1.1 Пусть решения уравнения (1.3) асимптотически
устойчивы. Тогда найдется такое r
0
> 0, что при всех ϕ(s) ∈ R(r
0
) ре-
шения уравнения (1.2) с начальными условиями x(s) = ϕ(s) стремятся
к нулю при t → ∞.
Если же уравнение (1.3) имеет экспоненциально растущее по моду-
лю при t → ∞ решение, то найдется такое r
0
> 0, что для каждого
0 < r < r
0
в шаре R(r) найдется такой элемент ϕ(s) и такое t
0
(r, ϕ),
что решение с начальным условием ϕ(s) не принадлежит шару R(r
0
) при
t = t
0
(r, ϕ).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- …
- следующая ›
- последняя »
