Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Общие сведения 9
Таким образом, для анализа решений исходного уравнения (1.2) весьма
важно поведение существенно более простого линейного уравнения (1.3).
Как и в случае ОДУ, поведение решений линейного автономного уравне-
ния определяется характеристическим уравнением. Для его нахождения
положим в (1.3)
y = e
λt
и после очевидных сокращений получим для нахождения неизвестного па-
раметра λ характеристический квазимногочлен
λ + 1 = ae
−λT
. (1.4)
Имеет место следующее утверждение.
Утверждение 1.2 Пусть все корни характеристического уравнения
(1.4) имеют отрицательные вещественные части. Тогда решения (1.3)
асимптотически устойчивы. Если же характеристический квазиполи-
ном (1.4) имеет корень λ
0
с положительной вещественной частью, то
уравнение (1.3) имеет экспоненциально растущее решение x = exp λ
0
t.
Отметим, что квазиполином (1.4) имеет бесконечное число корней, но
для любого вещественного p в комплексной полуплоскости Reλ ≥ p коли-
чество его корней конечно.
Таким образом, необходимо исследовать поведение решений уравнения
(1.2) в малой окрестности состояния равновесия лишь в тех случаях, ко-
гда квазиполином (1.4) имеет корни с нулевой вещественной частью (или
близкой к нулю) и не имеет с положительной.
1.2. Изучим поведение корней характеристического квазиполинома (1.4) в
зависимости от параметров.
При a = 0 все корни (1.4) имеют отрицательные вещественные части,
а значит, при всех близких к нулю значениях a это свойство сохраняется.
В силу непрерывной зависимости корней от параметра a, найдутся такие
a
0
(T ) > 0 и a
0
(T ) < 0, что при a
0
(T ) < a < a
0
(T ) все корни квазиполинома
имеют отрицательные вещественные части, а при a = a
0
(T ) и при a = a
0
(T )
квазиполином (1.4) имеет чисто мнимый корень λ
0
= iω(T ) (ω ≥ 0).
Рассмотрим сначала случай a < 0. Положим в (1.4) a = a
0
(T ) и λ = iω.
В результате получим
iω + 1 = a
0
e
−iωT
.
Выделим действительную и мнимую части:
1 = a
0
cos ωT,
ω = −a
0
sin ωT.

Страницы