Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Бифуркация Андронова-Хопфа 11
Лемма 1.2 Пусть 0 < a < 1. Тогда все корни (1.4) имеют отрицатель-
ные вещественные части. Если же a > 1, то уравнение (1.4) имеет ко-
рень с положительной вещественной частью.
Как и при доказательстве леммы 1.1, для доказательства второго утвер-
ждения этой теоремы привлекаем неравенство
Re
dλ(a)
da
¯
¯
¯
¯
a=a
0
, λ(a
0
)=iω
> 0,
которое следует из (1.7) и условия a > 0.
Упражнение 1.1. Показать, что при условии 0 < aT < π/2 решения
уравнения
˙x = −ax(t − T )
асимптотически устойчивы, а при a < 0 или a > π/2 – неустойчивы.
§2. Бифуркация Андронова-Хопфа
2.1. Изучим динамику уравнения
˙x + x = ax(t − T ) + F (x(t − T )) (2.1)
в случае, когда значения параметров a и T близки к критическим, т.е.
T = T
0
(1 + εT
1
), a = a
0
+ εa
1
.
Здесь 0 < ε ¿ 1 малый параметр, a
0
= a
0
(T
0
) либо a
0
= a
0
(T
0
), где a
0
(T ) и
a
0
(T ) определены в предыдущем параграфе. Поставим задачу исследовать
поведение решений (2.1) при достаточно малых значениях ε в некоторой
малой (но не зависящей от ε) окрестности нулевого решения.
Удобно считать, что в окрестности нуля функция F (x) имеет вид
F (x) = f
2
x
2
+ f
3
x
3
+ . . .
Для того, чтобы исключить зависимость запаздывания от малого пара-
метра ε, произведем в (2.1) замену
t = (1 + εT
1
)t
1

Страницы